Automatique - Semestre 3

PART A - Présentation Générale du Cours

Contexte pédagogique

L’automatique constitue une discipline centrale du DUT GEII, positionnée au semestre 3 après l’acquisition des bases en mathématiques (transformée de Laplace, équations différentielles), traitement du signal et systèmes linéaires. Ce cours établit le pont entre la théorie des systèmes et leur application pratique en régulation et contrôle, compétences essentielles pour l’ingénieur en électronique et informatique industrielle.

Objectifs d’apprentissage

Objectifs principaux :

Compétences visées :

Prérequis

PART B: EXPÉRIENCE, CONTEXTE ET FONCTION DU COURS

Module 1 : Fondamentaux des systèmes asservis

Introduction à l’automatique

Définitions et vocabulaire :

Commande en boucle ouverte :

Consigne → [Contrôleur] → [Système] → Sortie

Commande en boucle fermée (asservissement) :

Consigne ─→(+)→ [Contrôleur] → [Système] → Sortie
           │                                  ↓
           └──────────[Capteur]←──────────────┘
                  (rétroaction)

Avantages de l’asservissement :

Limitations :

Représentation par schémas-blocs

Blocs élémentaires :

Règles de simplification :

Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) : \(\text{FTBO}(s) = C(s) \cdot G(s) \cdot H(s)\) où C = correcteur, G = processus, H = capteur

Fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) : \(\text{FTBF}(s) = \frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{C(s)G(s)}{1 + C(s)G(s)H(s)}\)

Module 2 : Étude des systèmes du 1er et 2ème ordre

Systèmes du premier ordre

Forme canonique : \(H(s) = \frac{K}{1 + \tau s}\)

Réponse indicielle (échelon unitaire) : \(y(t) = K(1 - e^{-t/\tau})\)

Caractéristiques temporelles :

Réponse fréquentielle :

Exemples physiques :

Systèmes du second ordre

Forme canonique : \(H(s) = \frac{K\omega_0^2}{s^2 + 2\zeta\omega_0 s + \omega_0^2}\)

Types de régime selon ζ :

  1. Régime apériodique (ζ > 1) :
    • Deux pôles réels distincts
    • Pas de dépassement
    • Montée lente
  2. Régime critique (ζ = 1) :
    • Deux pôles réels confondus
    • Temps de montée optimal sans dépassement
    • Compromis idéal
  3. Régime pseudo-périodique (0 < ζ < 1) :
    • Deux pôles complexes conjugués
    • Oscillations amorties
    • Dépassement présent

Paramètres du régime pseudo-périodique :

Relation dépassement-amortissement :

Module 3 : Stabilité des systèmes

Notion de stabilité

Définition BIBO (Bounded Input Bounded Output) : Un système est stable si toute entrée bornée produit une sortie bornée.

Critère des pôles : Un système linéaire est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert ont une partie réelle strictement négative (dans le demi-plan gauche de Laplace).

Critère algébrique de Routh-Hurwitz

Objectif : Déterminer la stabilité sans calculer explicitement les pôles.

Méthode : Pour un polynôme caractéristique : \(D(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_1 s + a_0\)

  1. Construction du tableau de Routh
  2. Analyse de la première colonne
  3. Système stable ⇔ tous les termes de la 1ère colonne sont de même signe

Cas particulier : Changement de signe → pôle(s) dans le demi-plan droit → instabilité

Critères fréquentiels

Diagramme de Bode :

Marge de gain (MG) : \(MG_{dB} = -G_{dB}(\omega_{180°})\) où ω₁₈₀° est la pulsation pour laquelle φ = -180°

Marge de phase (Mφ) : \(M\phi = 180° + \phi(\omega_c)\) où ω_c est la pulsation de coupure à 0 dB

Critère du revers (Nyquist simplifié) : Tracé de FTBO(jω) dans le plan complexe

Lieu de Black : Représentation FTBO dans plan (Gain dB, Phase)

Module 4 : Performances des systèmes asservis

Critères de performance

Précision (erreur statique) :

L’erreur en régime permanent dépend de la classe du système et du type d’entrée.

Classe d’un système : Nombre d’intégrateurs dans la FTBO → ordre du zéro en s = 0

Erreurs selon le type d’entrée :

Entrée Classe 0 Classe 1 Classe 2
Échelon $\frac{1}{1+K}$ 0 0
Rampe ∞ $\frac{1}{K}$ 0
Parabole ∞ ∞ $\frac{1}{K}$

Rapidité :

Dépassement :

Compromis fondamental : Rapidité ↔ Dépassement ↔ Stabilité

Augmenter le gain améliore la précision mais peut dégrader la stabilité et augmenter le dépassement.

Module 5 : Correction des systèmes

Régulateurs PID classiques

Correcteur Proportionnel (P) : \(C(s) = K_p\)

Effet :

Limitations :

Correcteur Proportionnel-Intégral (PI) : \(C(s) = K_p\left(1 + \frac{1}{T_i s}\right) = K_p \frac{T_i s + 1}{T_i s}\)

Effet :

Réglage :

Correcteur Proportionnel-Intégral-Dérivé (PID) : \(C(s) = K_p\left(1 + \frac{1}{T_i s} + T_d s\right)\)

Effet :

Limitations action dérivée :

Méthodes de réglage

Méthode de Ziegler-Nichols (réponse indicielle) :

À partir de la réponse indicielle en boucle ouverte, identifier :

Type Kp Ti Td
P T/τ - -
PI 0.9T/τ 3τ -
PID 1.2T/τ 2τ 0.5τ

Méthode de Ziegler-Nichols (pompage) :

  1. Régler un P pur, augmenter Kp jusqu’à obtenir des oscillations permanentes
  2. Noter Ku (gain ultime) et Tu (période d’oscillation)
Type Kp Ti Td
P 0.5Ku - -
PI 0.45Ku Tu/1.2 -
PID 0.6Ku Tu/2 Tu/8

Méthode de placement de pôles :

Optimisation par critères :

PART C: ASPECTS TECHNIQUES

Outils de simulation et d’analyse

MATLAB - Control System Toolbox :

Fonctions principales :

% Définition fonction de transfert
G = tf([num], [den]);  % Numérateur, dénominateur
G = tf(5, [1 2 3]);    % Exemple : 5/(s² + 2s + 3)

% Analyse temporelle
step(G);               % Réponse indicielle
impulse(G);            % Réponse impulsionnelle
lsim(G, u, t);         % Réponse à signal quelconque

% Analyse fréquentielle
bode(G);               % Diagramme de Bode
nyquist(G);            % Lieu de Nyquist
nichols(G);            % Lieu de Black
margin(G);             % Marges de gain et phase

% Stabilité
pole(G);               % Calcul des pôles
rlocus(G);             % Lieu des racines
pzmap(G);              % Carte pôles-zéros

% Performances
stepinfo(G);           % Caractéristiques temporelles
bandwidth(G);          % Bande passante

Analyse d’un système bouclé :

% Système
G = tf(10, [1 2 1]);

% Correcteur PID
Kp = 5; Ki = 2; Kd = 0.5;
C = pid(Kp, Ki, Kd);

% Boucle fermée
T = feedback(C*G, 1);

% Analyse
step(T);
stepinfo(T)
margin(C*G);

Simulink :

Blocs principaux :

Exemple de modèle Simulink :

  1. Consigne (Step) → Sommateur (comparer avec sortie)
  2. Erreur → PID Controller → Système (Transfer Fcn)
  3. Sortie → Scope + retour vers sommateur

Paramétrage simulation :

Simulink PID Tuner :

Python - Control Systems Library

Installation :

pip install control matplotlib numpy scipy

Utilisation :

import control as ct
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Définition système
num = [10]
den = [1, 2, 1]
G = ct.TransferFunction(num, den)

# Réponse indicielle
t, y = ct.step_response(G)
plt.plot(t, y)
plt.title('Réponse indicielle')
plt.xlabel('Temps (s)')
plt.ylabel('Sortie')
plt.grid(True)
plt.show()

# Diagramme de Bode
ct.bode_plot(G)
plt.show()

# Marges de stabilité
gm, pm, wg, wp = ct.margin(G)
print(f"Marge de gain : {20*np.log10(gm):.2f} dB")
print(f"Marge de phase : {pm:.2f}°")

# Système bouclé
T = ct.feedback(G, 1)
ct.step_response(T)

Travaux pratiques

TP1 : Systèmes du 1er et 2ème ordre

Objectifs :

Systèmes étudiés :

  1. Circuit RC (1er ordre) :
    • Mesure constante de temps
    • Validation $\tau = RC$
    • Temps de réponse
  2. Circuit RLC (2ème ordre) :
    • Variation de R pour modifier ζ
    • Mesure dépassement et pseudo-période
    • Validation formules

Matériel :

Livrables :

TP2 : Asservissement de vitesse moteur DC

Description système :

Consigne → [Correcteur] → [Amplificateur] → [Moteur DC] → Vitesse
  (V)          (µC)           (H-bridge)        + charge      (rpm)
                 ↑                                              ↓
                 └──────────[Codeur incrémental]────────────────┘

Objectifs :

Étapes :

  1. Identification :
    • Réponse en boucle ouverte à échelon de tension
    • Détermination de K, τ (approximation 1er ordre)
  2. Régulation P :
    • Variation de Kp
    • Mesure erreur statique, dépassement, stabilité
    • Limite de Kp avant instabilité
  3. Régulation PI :
    • Réglage Kp et Ti
    • Annulation erreur statique
    • Robustesse aux variations de charge
  4. Régulation PID :
    • Ajout action dérivée
    • Amélioration dépassement
    • Filtrage du bruit

Matériel :

Mesures :

TP3 : Régulation de température

Système :

Problématique : Système lent (grande constante de temps thermique) → nécessite méthodes d’identification adaptées.

Travaux :

  1. Identification par réponse indicielle (plusieurs minutes)
  2. Modélisation 1er ordre : $G(s) = \frac{K}{1 + \tau s}$ avec τ ≈ 100-300s
  3. Synthèse correcteur PI
  4. Validation régulation sur plusieurs cycles
  5. Test perturbations (ouverture porte)

TP4 : Asservissement de position

Système : Servomoteur ou moteur + codeur absolu pour asservissement angulaire.

Objectifs :

Types de consignes :

Critères de performance :

Projets applicatifs

Projet 1 : Régulateur de vol de drone (simulation)

Contexte : Stabilisation d’attitude d’un quadricoptère (contrôle roulis, tangage, lacet).

Modélisation :

Correcteurs :

Critères :

Projet 2 : Station de régulation industrielle

Description : Simulateur de processus industriel (niveau, débit, pression, température).

Cahier des charges :

Technologies :

PART D: ANALYSE ET RÉFLEXION

Évaluation des connaissances

Contrôle continu 1 (Semaine 6) - 1h30

Sujets abordés :

Compétences évaluées :

Contrôle continu 2 (Semaine 11) - 1h30

Sujets abordés :

Compétences évaluées :

Travaux pratiques (Continu)

Évaluation :

Critères :

Projet (Semaines 12-14)

Livrables :

Critères d’évaluation :

Examen final (2h)

Structure :

Compétences évaluées :

Liens interdisciplinaires

Avec Mathématiques (S1-S2)

Avec Traitement du Signal (S2)

Avec Énergie (S1-S3)

Avec Informatique Embarquée (S3)

Avec Automatisme (S3)

Applications professionnelles

Secteur industriel

Automobile :

Aéronautique et spatial :

Robotique :

Processus industriels :

Énergie :

Compétences métier

Ingénieur automaticien :

Ingénieur systèmes embarqués :

Ingénieur R&D :

Ressources complémentaires

Ouvrages de référence

Niveau DUT/Licence :

Niveau approfondi :

Tutoriels et cours en ligne

MATLAB :

MOOCs :

Chaînes YouTube :

Logiciels

Open source :

Simulateurs :

Normes et standards

Perspectives et évolutions

Vers la commande avancée (S7-S8 INSA)

Représentation d’état :

Commande robuste :

Commande optimale :

Systèmes non-linéaires :

Tendances actuelles

Industrie 4.0 :

Intelligence artificielle :

Systèmes distribués :

📖 SYNTHÈSE

L’automatique constitue un pilier fondamental de l’ingénierie des systèmes, permettant de concevoir des systèmes autonomes, précis et robustes. Ce cours de S3 établit les bases théoriques et pratiques nécessaires à la compréhension et à la conception de systèmes asservis, compétences essentielles pour l’ingénieur GEII.

Points clés à retenir :

Compétences acquises :