Mathématiques - Semestre 2
📋 Description du cours
Approfondissement des mathématiques pour l’ingénieur avec un focus sur le traitement du signal, les transformées et l’analyse fréquentielle. Ces outils sont essentiels pour l’analyse de systèmes et le traitement des signaux.
🎯 Objectifs pédagogiques
- Maîtriser les transformées mathématiques
- Comprendre l’analyse fréquentielle
- Résoudre des problèmes de traitement du signal
- Appliquer les mathématiques aux systèmes réels
- Utiliser les outils de calcul numérique
📚 Contenu du cours
Transformée de Laplace
Définition et propriétés
- Définition de la transformée
- Transformées usuelles
- Propriétés (linéarité, dérivation, intégration)
- Théorèmes (valeur initiale, valeur finale)
- Convolution
Applications
- Résolution d’équations différentielles
- Analyse de circuits électriques
- Fonctions de transfert
- Systèmes asservis
- Stabilité
Transformée de Fourier
Série de Fourier
- Décomposition en série
- Coefficients de Fourier
- Spectre d’un signal périodique
- Forme complexe
- Propriétés (symétrie, parité)
Transformée de Fourier
- Passage au continu
- Transformée et transformée inverse
- Propriétés importantes
- Dualité temps-fréquence
- Convolution et produit
Applications
- Analyse spectrale
- Filtrage
- Modulation
- Échantillonnage
- Traitement d’images (introduction)
Signaux et systèmes
Classification des signaux
- Signaux déterministes et aléatoires
- Signaux périodiques et apériodiques
- Énergie et puissance
- Signaux particuliers (échelon, impulsion, rampe)
Systèmes linéaires
- Réponse impulsionnelle
- Fonction de transfert
- Systèmes du 1er et 2ème ordre
- Stabilité (pôles et zéros)
- Diagrammes de Bode
Analyse numérique
Calcul numérique
- Précision et erreurs
- Dérivation numérique
- Intégration numérique (trapèzes, Simpson)
- Résolution d’équations
Introduction au calcul matriciel
- Opérations matricielles
- Systèmes linéaires
- Déterminant et inverse
- Valeurs propres (rappel)
🧮 Travaux dirigés
Exercices d’application
- Calcul de transformées de Laplace
- Résolution d’équations différentielles
- Analyse de Fourier de signaux
- Diagrammes de Bode
- Problèmes de stabilité
Études de cas
- Analyse de circuits RLC
- Filtres analogiques
- Systèmes asservis simples
- Modulation de signaux
💻 Outils informatiques
MATLAB/Octave
- Calcul symbolique
- Tracé de graphiques
- Transformées (FFT, Laplace)
- Analyse de systèmes
- Simulation
Python
- NumPy pour le calcul numérique
- SciPy pour les transformées
- Matplotlib pour les graphiques
- Bibliothèques de traitement du signal
Calculatrices
- Calculatrices graphiques
- Calcul de transformées
- Tracés de fonctions
📊 Évaluation
- Contrôles continus (30%)
- Travaux dirigés (20%)
- Projet MATLAB/Python (20%)
- Examen final (30%)
🔗 Liens avec d’autres cours
- Signal : Application directe des outils mathématiques
- Automatique : Analyse de systèmes asservis
- SE (Systèmes Électroniques) : Analyse fréquentielle
- Énergie : Modélisation de systèmes électriques
- Filtrage numérique : Transformée en Z (S2 avancé ou S3)
📐 Applications pratiques
En électronique
- Analyse de circuits
- Conception de filtres
- Étude de la stabilité
- Réponse en fréquence
En traitement du signal
- Analyse spectrale
- Filtrage numérique
- Compression de données
- Détection de signaux
En automatique
- Modélisation de systèmes
- Régulation PID
- Analyse de stabilité
- Commande de systèmes
💡 Concepts clés
Dualité temps-fréquence
- Représentation temporelle vs fréquentielle
- Principe d’incertitude de Heisenberg
- Localisation temps-fréquence
- Applications pratiques
Convolution
- Définition et propriétés
- Interprétation physique
- Théorème de convolution
- Applications (filtrage, systèmes LTI)
Échantillonnage
- Théorème de Shannon-Nyquist
- Repliement spectral (aliasing)
- Fréquence d’échantillonnage
- Reconstruction de signal
📖 Compétences développées
- Analyse mathématique de systèmes
- Passage domaine temporel ↔ fréquentiel
- Utilisation d’outils de calcul numérique
- Modélisation de phénomènes physiques
- Résolution de problèmes complexes
- Interprétation de résultats
🔍 Méthodes d’étude
Compréhension
- Comprendre les concepts avant les formules
- Visualiser graphiquement
- Faire le lien avec les applications
Pratique
- Faire de nombreux exercices
- Utiliser les outils numériques
- Vérifier les résultats analytiques par simulation
Révision
- Fiches de formules
- Exemples types
- Méthodes de résolution
- Erreurs courantes à éviter
📚 Ressources complémentaires
- Tables de transformées
- Formulaires mathématiques
- Tutoriels MATLAB/Python
- Livres de référence en traitement du signal
- Exercices corrigés en ligne