Systemes Multivariables
PART A : GENERALITES
Presentation
Le cours "Systemes Multivariables" etend l'analyse et la commande des systemes dynamiques au cas de systemes a plusieurs entrees et plusieurs sorties (MIMO - Multiple Input Multiple Output). Ce cours est essentiel pour traiter des systemes complexes reels qui ne peuvent etre reduits a une seule entree et une seule sortie.
Annee Academique : 2023-2024
Semestre : 7
Categorie : Automatique / Commande
PART B : PARTIE DESCRIPTIVE
Details de l'Experience
Environnement et Contexte
Le cours combinait developpements theoriques avances (algebre lineaire, analyse matricielle) avec des applications pratiques via Matlab/Simulink. Nous avons etudie des systemes reels multivariables (avions, robots, procedes industriels) pour comprendre les defis specifiques de leur analyse et commande.
Ma Fonction
Dans ce cours, j'ai ete responsable de :
- Modeliser des systemes MIMO par representation d'etat
- Analyser la commandabilite et l'observabilite
- Concevoir des lois de commande multivariables
- Utiliser des techniques de decouplage
- Implementer des observateurs d'etat
- Simuler des systemes multivariables sous Matlab
- Valider les performances et la robustesse
PART C : PARTIE TECHNIQUE
Cette section explore les aspects techniques des systemes multivariables.
Concepts Techniques Appris
1. Representation d'Etat
Forme generale :
y(t) = C·x(t) + D·u(t)
ou :
- x ∈ R^n : vecteur d'etat (n variables d'etat)
- u ∈ R^m : vecteur d'entree (m entrees)
- y ∈ R^p : vecteur de sortie (p sorties)
- A ∈ R^(n×n) : matrice d'evolution
- B ∈ R^(n×m) : matrice de commande
- C ∈ R^(p×n) : matrice d'observation
- D ∈ R^(p×m) : matrice de transmission directe
Avantages de la representation d'etat :
- Traitement naturel des systemes MIMO
- Acces a toutes les variables internes
- Facilite l'analyse des proprietes structurelles
- Base pour commande moderne
Passage fonction de transfert ↔ representation d'etat :
- Matricielle pour MIMO
- Multiple realisations possibles (commandable, observable, equilibree)
2. Matrice de Transfert
Definition :
G(s) est une matrice p×m de fonctions de transfert :
G(s) = | G11(s) G12(s) ... G1m(s) |
| G21(s) G22(s) ... G2m(s) |
| ... ... ... ... |
| Gp1(s) Gp2(s) ... Gpm(s) |
Gij(s) = Yi(s)/Uj(s) quand toutes les autres entrees sont nulles
Poles et Zeros :
- Poles : valeurs propres de A (racines de det(sI-A))
- Zeros de transmission : annulent certains Gij(s)
- Plus complexe que SISO (zeros dependent de la direction)
3. Commandabilite
Definition :
Un systeme est commandable si on peut amener l'etat d'une condition initiale quelconque a n'importe quel etat final en temps fini.
Critere de Kalman :
ou Mc = [B AB A²B ... A^(n-1)B]
Mc ∈ R^(n×nm) : matrice de commandabilite
Interpretation :
- Si commandable : on peut placer les poles en boucle fermee ou on veut
- Si non commandable : certains modes ne peuvent etre influences
- Decomposition de Kalman : partie commandable / non commandable
Commandabilite de sortie :
Peut-on commander specifiquement les sorties ?
ou Mo = [CB CAB CA²B ... CA^(n-1)B]
Figure : Systeme MIMO (Multi-Input Multi-Output) - Couplages et decouplage
4. Observabilite
Definition :
Un systeme est observable si on peut determiner l'etat initial a partir des entrees et sorties sur un intervalle de temps fini.
Critere de Kalman :
ou Mo = | C |
| CA |
| CA² |
| ... |
|CA^(n-1)|
Mo ∈ R^(np×n) : matrice d'observabilite
Interpretation :
- Si observable : on peut reconstruire l'etat a partir des mesures
- Si non observable : certains modes restent caches
- Necessaire pour implementer un observateur d'etat
Dualite :
(A,B) commandable ⇔ (A^T, C^T) observable. Cette propriete simplifie les developpements theoriques.
5. Placement de Poles par Retour d'Etat
Loi de commande :
ou :
- K ∈ R^(m×n) : matrice de gains
- r(t) : reference
Systeme en boucle fermee :
Theoreme de placement de poles :
Si (A,B) est commandable, on peut placer les n poles de (A-BK) arbitrairement (en respectant conjugaison complexe).
Methodes de calcul de K :
Formule d'Ackermann (SISO) :
ou φ(s) est le polynome caracteristique desire
Placement de poles Matlab :
LQR (Linear Quadratic Regulator) :
Optimisation d'un critere quadratique :
K obtenu par resolution equation de Riccati algebrique
6. Observateur d'Etat
Problematique :
En pratique, on ne mesure que les sorties y(t), pas l'etat x(t). L'observateur estime x̂(t) a partir de y(t) et u(t).
Observateur de Luenberger :
ŷ(t) = C·x̂(t)
ou L ∈ R^(n×p) : matrice de gain de l'observateur
Dynamique de l'erreur d'estimation :
ė(t) = (A - LC)·e(t)
Theoreme :
Si (A,C) est observable, on peut placer les poles de (A-LC) arbitrairement.
Choix des poles de l'observateur :
Generalement 2 a 5 fois plus rapides que ceux du systeme commande (principe de separation).
Commande par retour d'etat estime :
Principe de separation :
La dynamique globale (commande + observateur) = dynamique commande + dynamique observateur. Les deux peuvent etre concus independamment.
7. Decouplage des Systemes MIMO
Problematique :
Dans un systeme MIMO, une entree ui affecte generalement plusieurs sorties. Objectif : decoupler pour que chaque ui n'affecte qu'une sortie yi.
Decouplage statique :
Trouver une matrice D telle que :
Decouplage dynamique :
Plus general, inclut predistorsion dynamique.
Decouplage par precompensation :
ou F est choisie pour decoupler
Indices de decouplage :
Lies a la structure du systeme (ordre des derivees necessaires).
8. Formes Canoniques
Forme Commandable :
Representation ou la commandabilite est evidente. Utile pour placement de poles.
Forme Observable :
Representation ou l'observabilite est evidente. Utile pour conception d'observateur.
Forme de Jordan :
Revele les modes propres du systeme
Forme Equilibree :
Egalise commandabilite et observabilite. Utile pour reduction de modele.
9. Stabilite des Systemes Multivariables
Critere :
Systeme stable ⇔ toutes les valeurs propres de A ont partie reelle < 0.
Critere de Lyapunov :
Trouver matrice P > 0 telle que :
Garantit stabilite asymptotique.
Stabilite entree-sortie :
Tous les poles de G(s) (partie reelle < 0).
Marge de stabilite :
- Marge de gain
- Marge de phase
- Generalisees pour MIMO (valeurs singulieres)
10. Analyse Frequentielle MIMO
Valeurs Singulieres :
Pour une matrice complexe G(jω) :
σ(G) = valeur singuliere minimale
Interpretation :
- σ̄(G(jω)) : gain maximal du systeme a la frequence ω
- σ(G(jω)) : gain minimal
Diagrammes de Bode multivariables :
Trace de σ̄(G(jω)) et σ(G(jω)) en fonction de ω.
Nombre de conditionnement :
κ eleve ⇒ systeme mal conditionne (sensible aux perturbations).
11. Commande LQG
Combinaison LQR + Observateur Stochastique :
- LQR : placement optimal de poles par minimisation de J
- Filtre de Kalman : observateur optimal en presence de bruit
Structure LQG :
ẋ = Ax + Bu + w (w : bruit d'etat)
y = Cx + v (v : bruit de mesure)
Loi de commande :
u = -K·x̂
ou x̂ est estime par filtre de Kalman
Proprietes :
- Optimal si bruits gaussiens
- Principe de separation encore valable
- Peut perdre robustesse (contrairement a LQR seul)
12. Applications Pratiques
Avion :
- Entrees : gouvernes (ailerons, gouvernail, profondeur)
- Sorties : angles (roulis, lacet, tangage)
- Fortement couple, necessite decouplage
Robot manipulateur :
- Entrees : couples aux articulations
- Sorties : positions articulaires
- Dynamique non-lineaire linearisee autour d'un point
Procede chimique :
- Multiples entrees (debits, temperatures)
- Multiples sorties (concentrations, pressions)
- Temps de reponse varies, couplages complexes
Suspension active vehicule :
- Entrees : forces des actuateurs (4 roues)
- Sorties : accelerations, positions (confort, tenue de route)
- Couplage mecanique
Reseau electrique :
- Multiples generateurs et charges
- Controle frequence et tension
- Systeme distribue de grande dimension
PART D : PARTIE ANALYTIQUE
Connaissances et Competences Mobilisees
- Algebre lineaire avancee (matrices, valeurs propres, valeurs singulieres)
- Analyse de systemes dynamiques
- Maitrise de la representation d'etat
- Theorie de la commande moderne
- Analyse structurelle (commandabilite, observabilite)
- Conception de lois de commande multivariables
- Conception d'observateurs d'etat
- Utilisation de Matlab/Simulink pour simulations
- Analyse frequentielle generalisee
- Comprehension des couplages entre entrees et sorties
Auto-Evaluation
Ce cours a ete l'un des plus exigeants mathematiquement du cursus. La manipulation de matrices, les changements de base, et les proprietes structurelles demandent une solide maitrise de l'algebre lineaire. Les premiers cours ont ete denses et il a fallu du temps pour bien assimiler les concepts.
La representation d'etat, que j'avais deja vue en SISO, prend toute sa puissance en MIMO. C'est le formalisme naturel pour ces systemes, beaucoup plus pratique que les fonctions de transfert matricielles.
Les notions de commandabilite et d'observabilite sont fondamentales. Elles determinent ce qu'on peut faire avec le systeme. Le fait qu'elles soient duales est elegant et permet de simplifier beaucoup de demonstrations.
Le placement de poles par retour d'etat est puissant mais necessite de mesurer (ou estimer) tout l'etat. L'observateur de Luenberger resout ce probleme de maniere elegante. Le principe de separation est remarquable : on peut concevoir commande et observateur independamment.
Les simulations Matlab ont ete essentielles pour developper l'intuition. Voir l'effet du choix des poles, du gain de l'observateur, etc., sur les reponses temporelles aide enormement a comprendre la theorie.
Le decouplage de systemes MIMO est un probleme difficile. Mathematiquement, on peut souvent le faire, mais les solutions peuvent etre irrealistes (gains trop eleves, sensibilite aux incertitudes). Le compromis entre decouplage parfait et robustesse est important.
L'approche LQR/LQG est seduisante car elle fournit une methode systematique de conception. Cependant, le choix des matrices de ponderation Q et R reste un art, et le lien avec les specifications (depassement, temps de reponse) n'est pas direct.
Mon Avis
Ce cours est fondamental pour l'automaticien moderne. Dans l'industrie, la plupart des systemes sont multivariables : on ne peut plus se contenter de boucles SISO independantes. Les techniques MIMO sont incontournables.
Points forts du cours :
- Rigueur mathematique des developpements
- Lien entre proprietes structurelles et possibilites de commande
- Elegance de certains resultats (dualite, separation)
- Applications variees et concretes
- Utilisation intensive de Matlab
Points a ameliorer :
- Plus d'exemples de dimensionnement pratique
- Liens avec commande robuste (H∞, μ-synthese)
- Aspects implementation temps reel
- Gestion de contraintes (saturation des actionneurs)
Reflexions :
La representation d'etat est un changement de paradigme par rapport a l'approche fonction de transfert classique. Elle offre une vue "interne" du systeme et permet des techniques de commande beaucoup plus sophistiquees.
Cependant, la complexite mathematique peut etre un frein. En pratique, il faut :
- Bons outils logiciels (Matlab Control Toolbox)
- Validation intensive par simulation
- Tests progressifs sur le systeme reel
- Robustesse face aux incertitudes de modelisation
La theorie suppose souvent que le modele est parfait (matrices A,B,C,D exactes). En realite, il y a toujours des incertitudes. Les techniques de commande robuste (que nous n'avons qu'effleurees) sont donc cruciales pour l'application industrielle.
Le decouplage complet est seduisant sur le papier mais peut etre contre-productif : il peut necessiter des gains eleves et rendre le systeme fragile face aux incertitudes. Un decouplage partiel ou une approche multivariable qui accepte les couplages mais les gere intelligemment est souvent preferable.
Pour ma carriere future :
Ces techniques sont applicables dans de nombreux domaines :
- Aeronautique et spatial (controle de vol)
- Automobile (ESP, suspensions actives, vehicules autonomes)
- Robotique (manipulateurs, drones)
- Procedes industriels (chimie, energie)
- Systemes energetiques (smart grids)
La maitrise de ces outils est un atout majeur pour concevoir des systemes de commande performants et robustes. Couplee avec des competences en traitement du signal, estimation, et optimisation, elle ouvre la voie a des carrieres en R&D ou ingenierie avancee dans l'automatique et les systemes embarques.
Documents de Cours
Polycopie Cours
Cours complet sur les systemes multivariables : representation d'etat, commandabilite, observabilite et synthese de correcteurs.
Annales 2022
Sujet d'examen 2022 avec exercices sur representation d'etat, stabilite et commande multivariable.
Correction Annales 2022
Correction detaillee de l'examen 2022 avec explications completes des methodes et resultats.
Multivariable Systems
PART A: GENERALITIES
Presentation
The "Multivariable Systems" course extends the analysis and control of dynamic systems to the case of systems with multiple inputs and multiple outputs (MIMO - Multiple Input Multiple Output). This course is essential for dealing with complex real-world systems that cannot be reduced to a single input and a single output.
Academic Year: 2023-2024
Semester: 7
Category: Control Engineering
PART B: DESCRIPTIVE PART
Experience Details
Environment and Context
The course combined advanced theoretical developments (linear algebra, matrix analysis) with practical applications via Matlab/Simulink. We studied real multivariable systems (aircraft, robots, industrial processes) to understand the specific challenges of their analysis and control.
My Role
In this course, I was responsible for:
- Modeling MIMO systems using state-space representation
- Analyzing controllability and observability
- Designing multivariable control laws
- Using decoupling techniques
- Implementing state observers
- Simulating multivariable systems in Matlab
- Validating performance and robustness
PART C: TECHNICAL PART
This section explores the technical aspects of multivariable systems.
Technical Concepts Learned
1. State-Space Representation
General form:
y(t) = C·x(t) + D·u(t)
where:
- x ∈ R^n: state vector (n state variables)
- u ∈ R^m: input vector (m inputs)
- y ∈ R^p: output vector (p outputs)
- A ∈ R^(n×n): state matrix
- B ∈ R^(n×m): input matrix
- C ∈ R^(p×n): output matrix
- D ∈ R^(p×m): direct transmission matrix
Advantages of state-space representation:
- Natural handling of MIMO systems
- Access to all internal variables
- Facilitates structural property analysis
- Foundation for modern control
Transfer function ↔ state-space conversion:
- Matrix-based for MIMO
- Multiple possible realizations (controllable, observable, balanced)
2. Transfer Matrix
Definition:
G(s) is a p×m matrix of transfer functions:
G(s) = | G11(s) G12(s) ... G1m(s) |
| G21(s) G22(s) ... G2m(s) |
| ... ... ... ... |
| Gp1(s) Gp2(s) ... Gpm(s) |
Gij(s) = Yi(s)/Uj(s) when all other inputs are zero
Poles and Zeros:
- Poles: eigenvalues of A (roots of det(sI-A))
- Transmission zeros: cancel certain Gij(s)
- More complex than SISO (zeros depend on direction)
3. Controllability
Definition:
A system is controllable if the state can be driven from any initial condition to any desired final state in finite time.
Kalman Criterion:
where Mc = [B AB A²B ... A^(n-1)B]
Mc ∈ R^(n×nm): controllability matrix
Interpretation:
- If controllable: closed-loop poles can be placed anywhere
- If not controllable: some modes cannot be influenced
- Kalman decomposition: controllable / uncontrollable parts
Output controllability:
Can the outputs be specifically controlled?
where Mo = [CB CAB CA²B ... CA^(n-1)B]
Figure: MIMO System (Multiple Input Multiple Output) - Couplings and decoupling
4. Observability
Definition:
A system is observable if the initial state can be determined from inputs and outputs over a finite time interval.
Kalman Criterion:
where Mo = | C |
| CA |
| CA² |
| ... |
|CA^(n-1)|
Mo ∈ R^(np×n): observability matrix
Interpretation:
- If observable: the state can be reconstructed from measurements
- If not observable: some modes remain hidden
- Required to implement a state observer
Duality:
(A,B) controllable ⇔ (A^T, C^T) observable. This property simplifies theoretical developments.
5. Pole Placement by State Feedback
Control law:
where:
- K ∈ R^(m×n): gain matrix
- r(t): reference
Closed-loop system:
Pole placement theorem:
If (A,B) is controllable, the n poles of (A-BK) can be placed arbitrarily (respecting complex conjugation).
Methods for computing K:
Ackermann's formula (SISO):
where φ(s) is the desired characteristic polynomial
Matlab pole placement:
LQR (Linear Quadratic Regulator):
Optimization of a quadratic cost:
K obtained by solving the algebraic Riccati equation
6. State Observer
Problem statement:
In practice, only the outputs y(t) are measured, not the state x(t). The observer estimates x̂(t) from y(t) and u(t).
Luenberger Observer:
ŷ(t) = C·x̂(t)
where L ∈ R^(n×p): observer gain matrix
Estimation error dynamics:
ė(t) = (A - LC)·e(t)
Theorem:
If (A,C) is observable, the poles of (A-LC) can be placed arbitrarily.
Choice of observer poles:
Generally 2 to 5 times faster than those of the controlled system (separation principle).
Control using estimated state feedback:
Separation principle:
The overall dynamics (control + observer) = control dynamics + observer dynamics. Both can be designed independently.
7. MIMO System Decoupling
Problem statement:
In a MIMO system, an input ui generally affects multiple outputs. Goal: decouple so that each ui affects only one output yi.
Static decoupling:
Find a matrix D such that:
Dynamic decoupling:
More general, includes dynamic pre-distortion.
Pre-compensation decoupling:
where F is chosen to decouple
Decoupling indices:
Related to the system structure (order of required derivatives).
8. Canonical Forms
Controllable Form:
Representation where controllability is obvious. Useful for pole placement.
Observable Form:
Representation where observability is obvious. Useful for observer design.
Jordan Form:
Reveals the system's eigenmodes
Balanced Form:
Equalizes controllability and observability. Useful for model reduction.
9. Stability of Multivariable Systems
Criterion:
System stable ⇔ all eigenvalues of A have real part < 0.
Lyapunov criterion:
Find a matrix P > 0 such that:
Guarantees asymptotic stability.
Input-output stability:
All poles of G(s) have real part < 0.
Stability margins:
- Gain margin
- Phase margin
- Generalized for MIMO (singular values)
10. MIMO Frequency Analysis
Singular Values:
For a complex matrix G(jω):
σ(G) = minimum singular value
Interpretation:
- σ̄(G(jω)): maximum gain of the system at frequency ω
- σ(G(jω)): minimum gain
Multivariable Bode diagrams:
Plot of σ̄(G(jω)) and σ(G(jω)) as a function of ω.
Condition number:
High κ ⇒ poorly conditioned system (sensitive to disturbances).
11. LQG Control
LQR + Stochastic Observer Combination:
- LQR: optimal pole placement by minimizing J
- Kalman Filter: optimal observer in the presence of noise
LQG Structure:
ẋ = Ax + Bu + w (w: state noise)
y = Cx + v (v: measurement noise)
Control law:
u = -K·x̂
where x̂ is estimated by the Kalman filter
Properties:
- Optimal if noises are Gaussian
- Separation principle still valid
- May lose robustness (unlike LQR alone)
12. Practical Applications
Aircraft:
- Inputs: control surfaces (ailerons, rudder, elevator)
- Outputs: angles (roll, yaw, pitch)
- Strongly coupled, requires decoupling
Robotic manipulator:
- Inputs: joint torques
- Outputs: joint positions
- Nonlinear dynamics linearized around an operating point
Chemical process:
- Multiple inputs (flow rates, temperatures)
- Multiple outputs (concentrations, pressures)
- Varying response times, complex couplings
Active vehicle suspension:
- Inputs: actuator forces (4 wheels)
- Outputs: accelerations, positions (comfort, road holding)
- Mechanical coupling
Power grid:
- Multiple generators and loads
- Frequency and voltage control
- Large-scale distributed system
PART D: ANALYTICAL PART
Knowledge and Skills Mobilized
- Advanced linear algebra (matrices, eigenvalues, singular values)
- Dynamic systems analysis
- Mastery of state-space representation
- Modern control theory
- Structural analysis (controllability, observability)
- Design of multivariable control laws
- State observer design
- Use of Matlab/Simulink for simulations
- Generalized frequency analysis
- Understanding of input-output couplings
Self-Evaluation
This course was one of the most mathematically demanding in the curriculum. Matrix manipulation, basis changes, and structural properties require a solid command of linear algebra. The first lectures were dense and it took time to properly absorb the concepts.
State-space representation, which I had already seen in SISO, reaches its full power in MIMO. It is the natural formalism for these systems, much more practical than matrix transfer functions.
The concepts of controllability and observability are fundamental. They determine what can be done with the system. The fact that they are dual is elegant and simplifies many proofs.
Pole placement through state feedback is powerful but requires measuring (or estimating) the entire state. The Luenberger observer solves this problem elegantly. The separation principle is remarkable: control and observer can be designed independently.
Matlab simulations were essential for developing intuition. Seeing the effect of pole choices, observer gain, etc., on time responses greatly helps in understanding the theory.
Decoupling MIMO systems is a difficult problem. Mathematically, it can often be done, but solutions may be unrealistic (excessive gains, sensitivity to uncertainties). The trade-off between perfect decoupling and robustness is important.
The LQR/LQG approach is attractive because it provides a systematic design method. However, choosing the weighting matrices Q and R remains an art, and the link with specifications (overshoot, settling time) is not direct.
My Opinion
This course is fundamental for the modern control engineer. In industry, most systems are multivariable: one can no longer rely on independent SISO loops. MIMO techniques are essential.
Course strengths:
- Mathematical rigor of the developments
- Link between structural properties and control possibilities
- Elegance of certain results (duality, separation)
- Varied and concrete applications
- Intensive use of Matlab
Areas for improvement:
- More practical sizing examples
- Links with robust control (H-infinity, mu-synthesis)
- Real-time implementation aspects
- Constraint management (actuator saturation)
Reflections:
State-space representation is a paradigm shift from the classical transfer function approach. It offers an "internal" view of the system and enables much more sophisticated control techniques.
However, mathematical complexity can be a barrier. In practice, one needs:
- Good software tools (Matlab Control Toolbox)
- Intensive validation through simulation
- Progressive testing on the real system
- Robustness against modeling uncertainties
Theory often assumes a perfect model (exact A, B, C, D matrices). In reality, there are always uncertainties. Robust control techniques (which we only touched upon) are therefore crucial for industrial application.
Complete decoupling is appealing on paper but can be counterproductive: it may require high gains and make the system fragile in the face of uncertainties. Partial decoupling or a multivariable approach that accepts couplings but manages them intelligently is often preferable.
For my future career:
These techniques are applicable in many fields:
- Aerospace (flight control)
- Automotive (ESP, active suspensions, autonomous vehicles)
- Robotics (manipulators, drones)
- Industrial processes (chemistry, energy)
- Energy systems (smart grids)
Mastering these tools is a major asset for designing high-performance and robust control systems. Combined with skills in signal processing, estimation, and optimization, it opens the door to careers in R&D or advanced engineering in control and embedded systems.
Course Documents
Course Handout
Complete course on multivariable systems: state-space representation, controllability, observability, and controller synthesis.
2022 Past Exam
2022 exam paper with exercises on state-space representation, stability, and multivariable control.
2022 Past Exam Solutions
Detailed solutions for the 2022 exam with full explanations of methods and results.