Filtrage Numerique - Semestre 6

Annee Universitaire : 2022-2023
Semestre : 6
Credits : 2,5 ECTS
Specialite : Traitement du Signal et Automatique

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PART A - Presentation Generale du Cours

Vue d'ensemble

Ce cours approfondit le traitement numerique du signal avec un focus sur la conception et l'implementation de filtres numeriques. Il couvre les deux grandes familles de filtres : FIR (Finite Impulse Response) et IIR (Infinite Impulse Response), avec leurs methodes de conception respectives. Le cours combine theorie mathematique (transformee en Z, reponse frequentielle) et pratique (MATLAB, implementation).

Objectifs pedagogiques :

• Maitriser la transformee en Z et l'analyse dans le domaine frequentiel
• Concevoir des filtres FIR par methode des fenetres
• Concevoir des filtres IIR par transformation bilineaire et invariance impulsionnelle
• Analyser la stabilite et les performances des filtres numeriques
• Implementer et tester des filtres en MATLAB

Position dans le cursus

Ce cours s'appuie sur et complete :

• Signal (S5) : transformee de Fourier, transformee de Laplace, echantillonnage
• Modelisation Systemes Lineaires (S5) : fonctions de transfert, stabilite

Il prepare aux applications :

• Traitement du Signal Avance : applications audio, biomedicales, communications
• Embedded IA for IoT (S9) : pretraitement de signaux pour machine learning
• Projets de traitement de donnees : analyse spectrale, filtrage adaptatif

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PART B - Experience Personnelle et Contexte d'Apprentissage

Organisation et ressources

Le module etait structure autour de trois axes :

1. Cours magistraux :

• Rappels sur l'echantillonnage et la transformee en Z
• Filtres FIR : proprietes, methodes de conception
• Filtres IIR : transformation de filtres analogiques
• Structures d'implementation et effets de quantification

2. Travaux diriges :

• Exercices de conception de filtres FIR par fenetrage
• Transformation bilineaire pour filtres IIR
• Analyse de stabilite (placement poles et zeros)
• Calculs de reponses frequentielles

3. Travaux pratiques MATLAB :

• Utilisation de l'outil fdatool (Filter Design and Analysis Tool)
• Conception et test de filtres FIR et IIR
• Comparaison de performances (ordre, attenuation, phase)
• Application a des signaux reels (audio, ECG)

Ressources pedagogiques :

• Playlist YouTube avec cours et TD : Traitement du Signal
• Annales d'examens 2022 et 2023 avec corrections
• Documentation MATLAB Signal Processing Toolbox

Deroulement et methodologie

Approche progressive :

Le cours adoptait une approche en trois etapes :

1. Theorie : etablir les fondements mathematiques (transformee en Z, equations aux differences)
2. Methodes : appliquer des techniques systematiques de conception
3. Pratique : valider et optimiser avec MATLAB

Exemple de conception de filtre passe-bas FIR :

Cahier des charges :

• Frequence de coupure : 1 kHz
• Frequence d'echantillonnage : 8 kHz
• Attenuation bande coupee : > 40 dB
• Ondulation bande passante : < 0,5 dB

Demarche :

1. Choix de la methode (fenetre de Hamming pour compromis)
2. Calcul de l'ordre necessaire (fonction du gabarit)
3. Generation des coefficients avec MATLAB : fir1(N, Wn, 'low')
4. Verification de la reponse frequentielle : freqz(b, a)
5. Test sur signal reel

Examens et evaluations

Format des examens :

Les annales montrent une structure recurrente :

Exercice 1 : Filtres FIR (30-40%)

• Conception par fenetrage
• Calcul de l'ordre minimal
• Comparaison de differentes fenetres
• Analyse de la reponse en frequence

Exercice 2 : Filtres IIR (30-40%)

• Transformation bilineaire ou invariance impulsionnelle
• Calcul de la fonction de transfert en Z
• Placement des poles et zeros
• Verification de la stabilite

Exercice 3 : Implementation (20-30%)

• Structure directe ou en cascade
• Effets de quantification
• Optimisation du nombre de bits
• Equations aux differences

Difficultes courantes :

• Confusion entre frequence normalisee (0 a 1) et frequence physique (Hz)
• Erreurs dans la transformation bilineaire (pre-deformation)
• Oubli de verifier la stabilite (poles a l'interieur du cercle unite)
• Mauvaise interpretation des specifications (dB vs lineaire)

Outils MATLAB utilises

Fonctions principales :

% Conception FIR
b = fir1(N, Wn, 'type');              % Fenetre
b = firpm(N, F, A);                    % Parks-McClellan (optimal)

% Conception IIR
[b,a] = butter(N, Wn, 'type');         % Butterworth
[b,a] = cheby1(N, Rp, Wn, 'type');     % Chebyshev Type I
[b,a] = cheby2(N, Rs, Wn, 'type');     % Chebyshev Type II
[b,a] = ellip(N, Rp, Rs, Wn, 'type');  % Elliptique

% Analyse
freqz(b, a, N);                        % Reponse frequentielle
zplane(b, a);                          % Diagramme poles-zeros
grpdelay(b, a);                        % Delai de groupe
filter(b, a, x);                       % Filtrage

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PART C - Aspects Techniques Detailles

1. Fondements : Transformee en Z

La transformee en Z est l'equivalent discret de la transformee de Laplace.

Definition :
Pour un signal discret x[n], la transformee en Z est :

X(z) = somme de x[n] x z^(-n) pour n de -infini a +infini

Proprietes importantes :

• Linearite : Z{a x x[n] + b x y[n]} = a x X(z) + b x Y(z)
• Decalage temporel : Z{x[n-k]} = z^(-k) x X(z)
• Convolution : Z{x[n] * h[n]} = X(z) x H(z)

Region de convergence (ROC) :
Zone du plan complexe ou la transformee converge. Critique pour la stabilite.

Lien avec la transformee de Fourier :
Sur le cercle unite (z = e^(jw)), la transformee en Z devient la DTFT (Discrete-Time Fourier Transform).

2. Filtres FIR (Finite Impulse Response)

Caracteristiques :

Un filtre FIR a une reponse impulsionnelle de duree finie :

y[n] = b0 x x[n] + b1 x x[n-1] + ... + bN x x[n-N]

Fonction de transfert : H(z) = b0 + b1 x z^(-1) + ... + bN x z^(-N)

Avantages :

• Toujours stable (pas de poles, uniquement des zeros)
• Phase lineaire possible (important pour audio, images)
• Pas de probleme de retroaction
• Implementation simple

Inconvenients :

• Ordre eleve necessaire pour selectivite forte
• Temps de calcul proportionnel a l'ordre
• Delai de groupe constant mais parfois important

Methode des fenetres :

Principe : partir de la reponse impulsionnelle ideale (infinie) et la tronquer avec une fenetre.

Fenetre	Lobe principal	Attenuation bande coupee	Ondulation
Rectangulaire	Etroit	-21 dB	Forte (9%)
Hamming	Moyen	-53 dB	Moyenne (0,2%)
Hanning	Moyen	-44 dB	Moyenne
Blackman	Large	-74 dB	Faible
Kaiser	Ajustable	Parametrable	Parametrable

Compromis : largeur du lobe principal (bande de transition) vs attenuation bande coupee.

Exemple : filtre passe-bas avec fenetre de Hamming

% Specifications
Fs = 8000;           % Frequence d'echantillonnage (Hz)
Fc = 1000;           % Frequence de coupure (Hz)
N = 50;              % Ordre du filtre

% Frequence normalisee (0 a 1, ou 1 = Fs/2)
Wn = Fc / (Fs/2);

% Conception
b = fir1(N, Wn, 'low', hamming(N+1));

% Visualisation
freqz(b, 1, 1024, Fs);
title('Filtre passe-bas FIR - Hamming');

Methode de Parks-McClellan (optimal) :

Algorithme d'echange de Remez pour obtenir une reponse equi-ondulation (ripple egal en bande passante et bande coupee).

Avantage : ordre minimal pour un gabarit donne.

% Specifications
F = [0 0.2 0.3 1];     % Frequences normalisees
A = [1 1 0 0];         % Amplitudes souhaitees
b = firpm(50, F, A);   % Conception optimale

3. Filtres IIR (Infinite Impulse Response)

Caracteristiques :

Un filtre IIR utilise une retroaction (recursion) :

y[n] = b0 x x[n] + b1 x x[n-1] + ... - a1 x y[n-1] - a2 x y[n-2] - ...

Fonction de transfert : H(z) = B(z) / A(z) = (b0 + b1 x z^(-1) + ...) / (1 + a1 x z^(-1) + a2 x z^(-2) + ...)

Avantages :

• Ordre faible pour selectivite elevee (efficacite)
• Correspondent aux filtres analogiques classiques
• Moins de calculs que FIR equivalent

Inconvenients :

• Potentiellement instables (poles hors cercle unite)
• Phase non-lineaire (distorsion de phase)
• Sensibles a la quantification des coefficients
• Risque de cycles limites (oscillations parasites)

Conception par transformation de filtres analogiques :

On part d'un filtre analogique eprouve (Butterworth, Chebyshev, Elliptique) et on le transforme en filtre numerique.

Approximations analogiques :

Type	Bande passante	Bande coupee	Phase	Ordre
Butterworth	Maximalement plate	Monotone	Bonne	Eleve
Chebyshev I	Ondulations	Monotone	Moyenne	Moyen
Chebyshev II	Plate	Ondulations	Moyenne	Moyen
Elliptique	Ondulations	Ondulations	Mauvaise	Faible

Transformation bilineaire :

Methode la plus utilisee. Transforme l'axe imaginaire du plan s (analogique) vers le cercle unite du plan z (numerique).

Transformation : s = (2/T) x (1 - z^(-1)) / (1 + z^(-1))

ou T est la periode d'echantillonnage.

Pre-deformation en frequence :

La transformation bilineaire deforme les frequences selon :

Omega_analogique = (2/T) x tan(omega_numerique x T/2)

Il faut donc pre-deformer les specifications avant transformation :

% Specifications numeriques
Fs = 1000;              % Hz
Fc = 100;               % Hz
Wn = Fc / (Fs/2);       % Frequence normalisee

% Conception Butterworth ordre 4
[b, a] = butter(4, Wn, 'low');

% Verification stabilite
disp(roots(a));         % Tous les poles doivent etre < 1 en module

Invariance impulsionnelle :

Consiste a echantillonner la reponse impulsionnelle analogique.

Avantage : correspondance exacte en temporel.
Inconvenient : repliement spectral (aliasing) si signal large bande.

4. Stabilite des Filtres Numeriques

Critere de stabilite :

Un filtre numerique est stable si et seulement si tous ses poles sont a l'interieur du cercle unite du plan z.

Module de chaque pole < 1

Diagramme poles-zeros :

Outil essentiel pour visualiser et analyser la stabilite.

[b, a] = butter(4, 0.2, 'low');
zplane(b, a);

• Poles (x) : racines du denominateur A(z)
• Zeros (o) : racines du numerateur B(z)
• Cercle unite : frontiere de stabilite

Interpretation :

• Pole proche du cercle unite → forte resonance
• Zero sur le cercle unite → annulation a cette frequence
• Poles complexes conjugues → oscillations

5. Structures d'Implementation

Forme directe I :

Implementation litterale de l'equation aux differences.

• Avantage : simple a comprendre
• Inconvenient : sensible aux erreurs de quantification

Forme directe II :

Rearrangement pour minimiser les memoires (retards).

• Avantage : moins de memoire (N au lieu de 2N)
• Inconvenient : sensible aux debordements intermediaires

Forme en cascade (biquads) :

Decomposition en cellules du 2eme ordre (sections de second ordre).

H(z) = H1(z) x H2(z) x ... x Hk(z)

• Avantage : robuste a la quantification, stabilite controlee
• Utilisation : standard pour IIR

Forme parallele :

Decomposition en fractions partielles.

H(z) = H0 + H1(z) + H2(z) + ... + Hk(z)

• Avantage : traitement parallelisable
• Inconvenient : plus de multiplications

6. Effets de la Quantification

Sources d'erreurs en virgule fixe :

1. Quantification des coefficients :

• Les coefficients b[k] et a[k] sont arrondis
• Impact : deplacement des poles et zeros
• Risque : poles sortent du cercle unite → instabilite

2. Quantification des calculs :

• Produits et sommes arrondis a chaque etape
• Accumulation d'erreurs (bruit de quantification)

3. Debordement (overflow) :

• Resultats intermediaires depassent la capacite
• Solution : mise a l'echelle (scaling)

Nombre de bits necessaires :

Regle empirique :

• FIR : 12-16 bits suffisent generalement
• IIR : 16-24 bits recommandes (plus sensibles)
• Forme cascade : meilleure robustesse que forme directe

7. Reponse Frequentielle et Analyse

Module et phase :

La reponse frequentielle H(e^(jw)) caracterise le filtre :

• Module |H(w)| : gain a chaque frequence
• Phase arg(H(w)) : dephasage introduit

Phase lineaire :

Condition pour eviter la distorsion de phase : arg(H(w)) = -a x w + b

Les filtres FIR peuvent avoir une phase lineaire si leurs coefficients sont symetriques ou antisymetriques.

Delai de groupe :

Mesure du retard en fonction de la frequence :

tg(w) = -d[arg(H(w))] / dw

Pour phase lineaire : delai de groupe constant.

Analyse MATLAB :

[H, W] = freqz(b, a, 1024);
% Module en dB
subplot(2,1,1);
plot(W/pi, 20*log10(abs(H)));
ylabel('Magnitude (dB)');
% Phase
subplot(2,1,2);
plot(W/pi, angle(H));
ylabel('Phase (radians)');
xlabel('Frequence normalisee (x pi rad/echantillon)');

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PART D - Analyse Reflexive et Perspectives

Competences acquises

Conception systematique de filtres :
Le cours a fourni une methodologie rigoureuse pour passer d'un cahier des charges (frequences, attenuations) a un filtre implementable. Savoir choisir entre FIR et IIR selon les contraintes.

Maitrise de MATLAB :
Les TPs ont developpe une aisance avec Signal Processing Toolbox, indispensable pour le traitement du signal moderne. Capacite a prototyper rapidement des solutions.

Analyse frequentielle :
Comprehension approfondie du lien temps-frequence, importance de la stabilite, impact des poles et zeros sur la reponse.

Points cles a retenir

1. FIR vs IIR - Le choix fondamental :

Critere	Choisir FIR	Choisir IIR
Phase lineaire requise	oui	non
Ordre faible critique	non	oui
Stabilite garantie	oui	non (verifier)
Audio, images	oui	IIR possible
Temps reel contraint	non (ordre eleve)	oui

2. Stabilite avant tout :
Toujours verifier que les poles sont dans le cercle unite. Un filtre instable est inutilisable.

3. Frequences normalisees :
Attention aux conversions : frequence physique (Hz) → normalisee (0 a 1) → pulsation numerique (0 a pi).

4. Quantification :
En implementation reelle (DSP, FPGA), les effets de virgule fixe peuvent detruire les performances. Toujours simuler avec quantification.

Applications pratiques

Audio et musique :

• Egaliseurs (filtres passe-bande multiples)
• Effets (reverberation, chorus utilisant IIR)
• Reduction de bruit (filtrage adaptatif)

Biomedical :

• Filtrage ECG : passe-bande 0,5-40 Hz pour eliminer 50 Hz secteur
• EEG : extraction de rythmes cerebraux (alpha, beta, theta)
• Detection d'anomalies cardiaques

Telecommunications :

• Filtres de mise en forme (raised cosine)
• Egalisation de canal
• Filtres anti-repliement (avant CAN) et de reconstruction (apres CNA)

Traitement d'images :

• Flou (passe-bas 2D)
• Detection de contours (passe-haut 2D)
• Debruitage (filtres medians, Wiener)

Liens avec projets et autres cours

Projets personnels :
Les competences en filtrage numerique ont ete appliquees dans plusieurs contextes :

• Analyse de signaux vibratoires pour maintenance predictive
• Traitement de signaux audio pour reconnaissance vocale
• Pretraitement de donnees IoT (capteurs accelerometres)

Complementarite avec d'autres cours :

• Signal (S5) : bases theoriques (Fourier, Laplace, echantillonnage)
• Embedded IA (S9) : filtrage comme etape de preprocessing pour ML
• Chaines d'Acquisition (S8) : filtres anti-repliement et reconstruction
• Temps Reel (S8) : contraintes d'implementation et optimisation

Limites et ouvertures

Limites du cours :

• Peu sur les filtres adaptatifs (LMS, RLS)
• Pas de traitement multirate (decimation, interpolation)
• Aspects temps reel peu developpes (latence, throughput)
• Implementation materielle (FPGA, DSP) non abordee

Ouvertures vers :

• Filtrage adaptatif : applications en annulation d'echo, egalisation
• Bancs de filtres : compression audio (MP3), analyse multiresolution
• Traitement temps-frequence : transformees en ondelettes
• Filtrage optimal : filtres de Wiener, Kalman
• Traitement d'antenne : beamforming, filtrage spatial

Evolution technologique

Tendances actuelles :

• Machine learning : remplacement de filtres classiques par reseaux de neurones pour debruitage
• Filtrage embarque : acceleration materielle (GPU, FPGA, ASIC)
• Filtrage distribue : traitement en edge computing pour IoT
• Filtrage quantique : perspectives avec calcul quantique

Outils modernes :

• Python scipy.signal : alternative a MATLAB pour le prototypage
• TensorFlow/PyTorch : filtrage par apprentissage profond
• CMSIS-DSP : bibliotheques optimisees pour ARM Cortex-M
• High-Level Synthesis : conception FPGA en C/C++

Conclusion

Le filtrage numerique est un pilier du traitement du signal. Maitriser FIR et IIR, comprendre le compromis ordre/performances, et savoir utiliser les outils de conception sont des competences essentielles pour l'ingenieur en systemes embarques, telecommunications, ou traitement de donnees.

Ce cours a fourni une base solide theorique (transformee en Z, stabilite) et pratique (MATLAB, implementation). La capacite a concevoir un filtre adapte a un cahier des charges, verifier sa stabilite, et l'implementer efficacement est desormais acquise.

Ressources pour approfondir :

• Playlist YouTube du cours : Traitement du Signal
• Annales avec corrections (2022, 2023) pour s'entrainer
• MATLAB Signal Processing Toolbox documentation
• Livres : "Digital Signal Processing" de Proakis & Manolakis

Liens avec les autres cours :

• Signal - S5 : fondements theoriques
• Electronique Fonctions Analogiques - S6 : filtres actifs
• Chaines Electroniques d'Acquisition - S8 : application complete
• Embedded IA for IoT - S9 : pretraitement ML

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Documents de Cours

% FIR Design
b = fir1(N, Wn, 'type');              % Window method
b = firpm(N, F, A);                    % Parks-McClellan (optimal)

% IIR Design
[b,a] = butter(N, Wn, 'type');         % Butterworth
[b,a] = cheby1(N, Rp, Wn, 'type');     % Chebyshev Type I
[b,a] = cheby2(N, Rs, Wn, 'type');     % Chebyshev Type II
[b,a] = ellip(N, Rp, Rs, Wn, 'type');  % Elliptic

% Analysis
freqz(b, a, N);                        % Frequency response
zplane(b, a);                          % Pole-zero diagram
grpdelay(b, a);                        % Group delay
filter(b, a, x);                       % Filtering

% Specifications
Fs = 8000;           % Sampling frequency (Hz)
Fc = 1000;           % Cutoff frequency (Hz)
N = 50;              % Filter order

% Normalized frequency (0 to 1, where 1 = Fs/2)
Wn = Fc / (Fs/2);

% Design
b = fir1(N, Wn, 'low', hamming(N+1));

% Visualization
freqz(b, 1, 1024, Fs);
title('FIR Low-pass Filter - Hamming');

% Specifications
F = [0 0.2 0.3 1];     % Normalized frequencies
A = [1 1 0 0];         % Desired amplitudes
b = firpm(50, F, A);   % Optimal design

% Digital specifications
Fs = 1000;              % Hz
Fc = 100;               % Hz
Wn = Fc / (Fs/2);       % Normalized frequency

% Butterworth design, order 4
[b, a] = butter(4, Wn, 'low');

% Stability verification
disp(roots(a));         % All poles must have magnitude < 1

[b, a] = butter(4, 0.2, 'low');
zplane(b, a);

[H, W] = freqz(b, a, 1024);
% Magnitude in dB
subplot(2,1,1);
plot(W/pi, 20*log10(abs(H)));
ylabel('Magnitude (dB)');
% Phase
subplot(2,1,2);
plot(W/pi, angle(H));
ylabel('Phase (radians)');
xlabel('Normalized frequency (x pi rad/sample)');