Signal - S5

Annee : 2022-2023 (Semestre 5)
Credits : 3 ECTS
Type : Traitement du Signal

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PART A : PRESENTATION GENERALE

Objectifs du cours

Ce cours introduit les bases du traitement du signal, couvrant l'analyse temporelle et frequentielle des signaux, les transformations mathematiques essentielles, et les methodes de traitement numerique. L'accent est mis sur les techniques permettant d'extraire l'information utile des signaux et de les filtrer.

Competences visees

• Maitriser la representation temporelle et frequentielle des signaux
• Appliquer les transformees de Fourier, Laplace et Z
• Analyser les systemes lineaires invariants dans le temps (LTI)
• Comprendre l'echantillonnage et la numerisation des signaux
• Concevoir et analyser des filtres numeriques
• Utiliser MATLAB pour le traitement du signal
• Interpreter les spectres frequentiels

Organisation

• Volume horaire : Cours magistraux, TD et TP MATLAB
• Evaluation : Examen ecrit + TPs notes
• Semestre : 5 (2022-2023)
• Prerequis : Mathematiques (integrales, nombres complexes), programmation de base

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PART B : EXPERIENCE, CONTEXTE ET FONCTION

Contenu pedagogique

Le cours s'articule autour de l'analyse des signaux et des systemes.

1. Introduction aux signaux

Classification des signaux :

Type	Description	Exemples
Continu	Variable continue dans le temps	Tension electrique, temperature
Discret	Echantillonne a intervalles reguliers	Signal numerique, donnees capteur
Periodique	Se repete identiquement	Sinusoide, signal carre
Aperiodique	Non repetitif	Impulsion, bruit
Deterministe	Previsible mathematiquement	Sinusoide, rampe
Aleatoire	Nature stochastique	Bruit, turbulences

Signaux de base :

Fonction echelon unitaire : signal qui passe de 0 a 1 a un instant donne.

Impulsion de Dirac : signal infiniment bref et infiniment intense, utilise pour caracteriser les systemes.

Sinusoide : signal periodique de base, caracterise par amplitude, frequence et phase.

Signal carre : alternance entre deux niveaux, riche en harmoniques impaires.

Operations sur les signaux :

• Decalage temporel : retard ou avance
• Changement d'echelle : compression ou dilatation
• Addition et multiplication
• Derivation et integration
• Convolution : operation fondamentale liant entree, systeme et sortie

2. Systemes lineaires invariants (LTI)

Proprietes des systemes LTI :

Linearite : la sortie est proportionnelle a l'entree et respecte la superposition.

Invariance temporelle : le comportement ne change pas avec le temps.

Caracterisation par reponse impulsionnelle :

La reponse impulsionnelle h(t) decrit completement le systeme.

La sortie y(t) pour une entree x(t) se calcule par convolution :
y(t) = x(t) * h(t)

Stabilite :

Un systeme est stable si toute entree bornee produit une sortie bornee (critere BIBO).

Condition : l'integrale du module de h(t) doit etre finie.

Causalite :

Un systeme est causal si la sortie ne depend que du present et du passe.

Condition : h(t) = 0 pour t < 0.

3. Analyse de Fourier

Serie de Fourier :

Decomposition d'un signal periodique en somme de sinusoides.

Un signal periodique de periode T0 se decompose en :

• Composante continue (valeur moyenne)
• Fondamentale a frequence F0 = 1/T0
• Harmoniques aux frequences multiples : 2F0, 3F0, 4F0...

Coefficients de Fourier :

Chaque harmonique a une amplitude et une phase caracteristiques.

Forme complexe : utilise des exponentielles complexes pour simplifier les calculs.

Exemple signal carre :

Un signal carre ne contient que les harmoniques impaires (F0, 3F0, 5F0...).

Les amplitudes decroissent en 1/n ou n est le rang de l'harmonique.

Transformee de Fourier :

Generalisation aux signaux non periodiques.

Passage du domaine temporel au domaine frequentiel.

Spectre d'amplitude : montre les frequences presentes dans le signal.

Spectre de phase : indique le dephasage de chaque composante.

Proprietes importantes :

Propriete	Description
Linearite	Transformee d'une somme = somme des transformees
Decalage temporel	Introduit un dephasage en frequentiel
Modulation	Deplacement du spectre
Convolution	Produit des transformees
Dualite temps-frequence	Signal large en temps = etroit en frequence

Transformee de Fourier discrete (TFD) :

Version numerique pour signaux echantillonnes.

FFT (Fast Fourier Transform) : algorithme rapide pour calculer la TFD.

Utilisee en pratique dans MATLAB avec la fonction fft().

4. Transformee de Laplace

Principe :

Extension de la transformee de Fourier incluant des signaux exponentiels croissants.

Variable complexe s = sigma + j*omega.

Fonction de transfert :

Rapport entre sortie et entree en domaine de Laplace.

Permet d'analyser les systemes sans resoudre les equations differentielles.

Poles et zeros :

Poles : valeurs de s annulant le denominateur. Determinent la stabilite et la dynamique du systeme.

Zeros : valeurs de s annulant le numerateur. Influencent l'amplitude de la reponse.

Analyse de stabilite :

Un systeme est stable si tous ses poles ont une partie reelle negative (dans le demi-plan gauche).

Transformations utiles :

Signal temporel	Transformee de Laplace
Impulsion	1
Echelon	1/s
Rampe	1/s²
Exponentielle	1/(s-a)
Sinusoide	omega/(s²+omega²)

5. Echantillonnage et numerisation

Theoreme de Shannon-Nyquist :

Pour echantillonner correctement un signal, la frequence d'echantillonnage Fe doit etre au moins le double de la frequence maximale du signal.

Condition : Fe >= 2 x Fmax

Aliasing (repliement spectral) :

Si le theoreme de Shannon n'est pas respecte, les hautes frequences se replient sur les basses frequences, creant des distorsions irreversibles.

Solution : filtrer le signal avant echantillonnage (filtre anti-repliement).

Quantification :

Conversion de l'amplitude continue en valeurs discretes.

Nombre de bits determine la resolution :

• 8 bits : 256 niveaux
• 16 bits : 65536 niveaux
• 24 bits : 16 millions de niveaux

Bruit de quantification : erreur introduite par l'arrondi des valeurs.

6. Transformee en Z

Principe :

Equivalent discret de la transformee de Laplace.

Utilisee pour l'analyse des systemes numeriques.

Variable complexe z.

Fonction de transfert discrete :

Rapport entre sortie et entree en domaine Z.

Permet de concevoir des filtres numeriques.

Stabilite :

Un systeme discret est stable si tous ses poles sont a l'interieur du cercle unite (module < 1).

Lien avec la transformee de Fourier :

En posant z = exp(j*omega*Te), on obtient la reponse frequentielle du systeme discret.

7. Filtrage numerique

Types de filtres :

FIR (Finite Impulse Response) :

• Reponse impulsionnelle finie
• Toujours stables
• Phase lineaire possible
• Plus simple a concevoir

IIR (Infinite Impulse Response) :

• Reponse impulsionnelle infinie
• Plus efficaces (moins de coefficients)
• Risque d'instabilite
• Equivalents numeriques des filtres analogiques

Filtres selon la bande passante :

Type	Fonction
Passe-bas	Laisse passer les basses frequences
Passe-haut	Laisse passer les hautes frequences
Passe-bande	Laisse passer une bande de frequences
Coupe-bande	Elimine une bande de frequences

Specifications d'un filtre :

• Frequence de coupure : limite de la bande passante
• Ondulation en bande passante : variations d'amplitude acceptables
• Attenuation en bande attenuee : rejection des frequences indesirables
• Bande de transition : zone de passage de la bande passante a la bande attenuee

Conception de filtres :

Methodes classiques :

• Butterworth : reponse plate en bande passante
• Chebyshev : ondulation en bande passante, transition plus raide
• Elliptique : ondulation en bande passante et attenuee, transition tres raide
• Bessel : phase lineaire, preserve la forme du signal

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PART C : ASPECTS TECHNIQUES

Travaux Pratiques MATLAB

TP1 : Decomposition en serie de Fourier :

Objectif : analyser un signal periodique et calculer ses coefficients de Fourier.

Code MATLAB typique :

% Definition du signal
tmin = 0;
tmax = 4;
T0 = tmax - tmin;
F0 = 1/T0;
dt = 0.04;
t = tmin:dt:(tmax-dt);

% Signal test (par exemple sinusoide)
A = 1;
f_t = A*sin(pi/T0*t);

% Trace du signal temporel
figure(1);
plot(t, f_t, 'r');
title('Signal temporel');
xlabel('Temps (s)');
ylabel('Amplitude');
grid;

% Calcul des coefficients de Fourier
N = 200; % Nombre d'harmoniques
rang = 0:1:N;
Fourier = zeros(N+1, 1);

% Calcul de chaque coefficient
for n = 0:N
    somme = 0;
    for k = 1:length(t)
        somme = somme + f_t(k) * exp(-2*pi*1i*n*t(k)/T0);
    end
    Fourier(n+1) = somme * dt / T0;
end

% Trace du spectre
figure(2);
stem(rang, abs(Fourier));
title('Spectre d''amplitude');
xlabel('Rang harmonique');
ylabel('Amplitude');
grid;

TP2 : Analyse d'un signal audio :

Traitement d'un fichier WAV pour analyse spectrale.

% Lecture du signal audio
[signal, Fe] = audioread('signal.wav');

% Parametres
tmax = length(signal) / Fe;
dt = 1/Fe;
t = 0:dt:(tmax-dt);

% Trace temporel
figure(1);
plot(t, signal);
title('Signal audio');
xlabel('Temps (s)');
ylabel('Amplitude');

% Transformee de Fourier
N = length(signal);
frequences = (0:N-1) * Fe / N;
spectre = fft(signal);

% Trace du spectre
figure(2);
plot(frequences(1:N/2), abs(spectre(1:N/2)));
title('Spectre frequentiel');
xlabel('Frequence (Hz)');
ylabel('Amplitude');
grid;

Critere de Nyquist :

Calcul de la frequence maximale respectant Shannon :

Fe = 44100; % Frequence d'echantillonnage
dt = 1/Fe;
Fmax = Fe/2; % Frequence de Nyquist

Fonctions MATLAB essentielles

Generation de signaux :

t = 0:0.001:1;              % Vecteur temps
sin_signal = sin(2*pi*10*t); % Sinusoide 10 Hz
square_signal = square(2*pi*5*t); % Signal carre 5 Hz
sawtooth_signal = sawtooth(2*pi*3*t); % Dents de scie

Transformees :

X = fft(x);                 % Transformee de Fourier
x_reconst = ifft(X);        % Transformee inverse

Filtrage :

% Filtre passe-bas Butterworth
[b, a] = butter(4, 0.2);    % Ordre 4, frequence normalisee 0.2
y = filter(b, a, x);        % Application du filtre

% Reponse frequentielle
freqz(b, a);                % Affichage Bode

Analyse spectrale :

spectrogram(signal, 256, 128, 256, Fe); % Spectrogramme
pwelch(signal, [], [], [], Fe);         % Densite spectrale

Travaux Diriges

Chapitres couverts selon les corrections disponibles :

• Chapitre 2 : Systemes LTI et convolution
• Chapitre 3 : Serie de Fourier
• Chapitre 5 : Transformee de Laplace
• Chapitre 6 : Echantillonnage et transformee en Z

Exercices types :

Calcul de convolution : Determiner la sortie d'un systeme connaissant son entree et sa reponse impulsionnelle.

Analyse spectrale : Calculer les coefficients de Fourier d'un signal periodique.

Fonction de transfert : Determiner la stabilite d'un systeme a partir de ses poles.

Echantillonnage : Calculer la frequence minimale pour eviter l'aliasing.

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PART D : ANALYSE ET REFLEXION

Competences acquises

Theoriques :

• Comprehension des domaines temporel et frequentiel
• Maitrise des transformees mathematiques
• Analyse des systemes LTI
• Theorie de l'echantillonnage

Pratiques :

• Programmation MATLAB pour le traitement du signal
• Analyse spectrale de signaux reels
• Conception de filtres numeriques
• Interpretation de spectres frequentiels
• Detection et correction d'aliasing

Applications pratiques

Le traitement du signal est omnipresent dans les technologies modernes :

Audio et musique :

• Compression MP3, AAC
• Egaliseurs et effets sonores
• Reduction de bruit
• Synthese vocale et reconnaissance

Telecommunications :

• Modulation et demodulation
• Egalisation de canal
• Codage de canal
• Communications sans fil (Wi-Fi, 4G, 5G)

Traitement d'image et video :

• Compression JPEG, MPEG
• Filtrage et amelioration d'image
• Detection de contours
• Reconnaissance de formes

Biomedical :

• Electrocardiogramme (ECG)
• Electroencephalogramme (EEG)
• Imagerie medicale (IRM, scanner)
• Protheses auditives

Instrumentation :

• Acquisition de donnees capteurs
• Filtrage anti-bruit
• Extraction de caracteristiques
• Analyse vibratoire

Radar et sonar :

• Detection de cibles
• Estimation de distance et vitesse
• Traitement d'antenne

Liens avec autres cours

Cours	Lien
Mathematiques	Transformees, integrales, complexes
Circuits Analogiques (S5)	Filtres analogiques, bande passante
Architecture Materielle (S5)	Convertisseurs A/N et N/A
Systemes Lineaires (S5)	Fonctions de transfert, stabilite
Programmation C (S5)	Implementation d'algorithmes
Filtrage Numerique (S6)	Approfondissement filtres
Signaux Aleatoires (S6)	Extension aux signaux stochastiques
Communications (S7)	Modulation, canaux de transmission

Outils professionnels

Le cours prepare a l'utilisation d'outils industriels :

MATLAB/Simulink : standard en R&D et enseignement.

Python (NumPy, SciPy, Matplotlib) : alternative open-source de plus en plus utilisee.

LabVIEW : acquisition et traitement en temps reel.

DSP (Digital Signal Processor) : processeurs specialises pour traitement rapide.

FPGA : implementation materielle de filtres haute performance.

Concepts cles a retenir

Dualite temps-frequence : Un signal ne peut pas etre simultanement tres localise en temps et en frequence. Signal bref = spectre large.

Theoreme de Shannon : Fondamental pour toute numerisation. Violer ce theoreme cree de l'aliasing irreversible.

Convolution : Operation centrale reliant entree, systeme et sortie. En frequentiel, devient un simple produit.

Filtrage : Permet d'extraire l'information utile et d'eliminer le bruit. Compromis entre efficacite et complexite.

Mon opinion

Ce cours est fondamental pour comprendre comment l'information est representee et traitee numeriquement.

Points forts :

• Concepts mathematiques bien expliques
• TPs MATLAB tres formateurs
• Applications concretes (audio, communications)
• Base solide pour cours avances

Applications concretes :

Les notions de Fourier et d'echantillonnage sont utilisees quotidiennement dans :

• Streaming audio/video
• Telephonie mobile
• Compression de donnees
• Imagerie numerique

Importance professionnelle :

Le traitement du signal est essentiel dans de nombreux domaines :

• Systemes embarques
• Internet des objets (IoT)
• Intelligence artificielle (pretraitement des donnees)
• Telecommunications
• Automobile (radar, lidar)

Complementarite avec autres cours :

Ce cours se combine parfaitement avec :

• Systemes lineaires (meme formalisme)
• Filtrage numerique (applications directes)
• Communications (modulation, codage)
• Machine Learning (extraction de features)

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Bilan personnel : Ce cours a apporte les outils mathematiques et pratiques pour analyser et traiter les signaux numeriques. Les TPs MATLAB ont permis de manipuler concretement les concepts theoriques. Ces competences sont directement applicables en traitement audio, communications, et systemes embarques. La maitrise de l'analyse spectrale et du filtrage est indispensable pour tout ingenieur en electronique ou informatique industrielle.

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Documents de Cours

Voici les supports de cours en PDF pour approfondir le traitement du signal :

% Signal definition
tmin = 0;
tmax = 4;
T0 = tmax - tmin;
F0 = 1/T0;
dt = 0.04;
t = tmin:dt:(tmax-dt);

% Test signal (e.g., sinusoid)
A = 1;
f_t = A*sin(pi/T0*t);

% Time-domain plot
figure(1);
plot(t, f_t, 'r');
title('Time-domain signal');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');
grid;

% Fourier coefficient computation
N = 200; % Number of harmonics
rang = 0:1:N;
Fourier = zeros(N+1, 1);

% Compute each coefficient
for n = 0:N
    somme = 0;
    for k = 1:length(t)
        somme = somme + f_t(k) * exp(-2*pi*1i*n*t(k)/T0);
    end
    Fourier(n+1) = somme * dt / T0;
end

% Spectrum plot
figure(2);
stem(rang, abs(Fourier));
title('Amplitude spectrum');
xlabel('Harmonic order');
ylabel('Amplitude');
grid;

% Read audio signal
[signal, Fs] = audioread('signal.wav');

% Parameters
tmax = length(signal) / Fs;
dt = 1/Fs;
t = 0:dt:(tmax-dt);

% Time-domain plot
figure(1);
plot(t, signal);
title('Audio signal');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');

% Fourier Transform
N = length(signal);
frequencies = (0:N-1) * Fs / N;
spectrum = fft(signal);

% Spectrum plot
figure(2);
plot(frequencies(1:N/2), abs(spectrum(1:N/2)));
title('Frequency spectrum');
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Amplitude');
grid;

Fs = 44100; % Sampling frequency
dt = 1/Fs;
Fmax = Fs/2; % Nyquist frequency

t = 0:0.001:1;              % Time vector
sin_signal = sin(2*pi*10*t); % 10 Hz sinusoid
square_signal = square(2*pi*5*t); % 5 Hz square wave
sawtooth_signal = sawtooth(2*pi*3*t); % Sawtooth wave

X = fft(x);                 % Fourier Transform
x_reconst = ifft(X);        % Inverse transform

% Butterworth low-pass filter
[b, a] = butter(4, 0.2);    % Order 4, normalized frequency 0.2
y = filter(b, a, x);        % Apply the filter

% Frequency response
freqz(b, a);                % Bode plot

spectrogram(signal, 256, 128, 256, Fs); % Spectrogram
pwelch(signal, [], [], [], Fs);         % Power spectral density