Cours connexes :

• Temps Reel - S8 - Implementation temps reel des lois de commande
• Systemes Multivariables - S7 - Commande de systemes MIMO

Commande Numerique

PARTIE A : GENERALITES

Presentation

Le cours "Commande Numerique" traite de la conception et de l'implementation de lois de commande sur calculateur numerique. Avec la generalisation des microcontroleurs et processeurs, la commande numerique est devenue la norme dans l'industrie. Ce cours couvre la theorie de l'echantillonnage, la synthese de correcteurs numeriques, et leur implementation pratique.

Annee Academique : 2023-2024
Semestre : 8
Categorie : Automatique / Commande

PARTIE B : PARTIE DESCRIPTIVE

Details de l'experience

Environnement et contexte

Le cours combinait developpements mathematiques (transformee en Z, equations aux differences) avec implementation sur microcontroleur et simulation Matlab/Simulink. Nous avons concu des regulateurs numeriques pour differents systemes (moteur, temperature, niveau) et les avons testes en laboratoire.

Ma fonction

Dans ce cours, j'ai ete responsable de :

• Comprendre la theorie de l'echantillonnage et ses effets
• Modeliser des systemes continus en temps discret
• Synthetiser des correcteurs numeriques (PID, RST, predictif)
• Choisir la periode d'echantillonnage appropriee
• Implementer des lois de commande sur microcontroleur
• Gerer les aspects pratiques (quantification, saturation, anti-windup)
• Valider les performances en simulation et experimentation

PARTIE C : PARTIE TECHNIQUE

Cette section explore les aspects techniques de la commande numerique.

Concepts techniques appris

1. Echantillonnage et Theoreme de Shannon

Principe :

Conversion d'un signal continu s(t) en signal echantillonne s[k] :

s[k] = s(k*Te)
ou Te est la periode d'echantillonnage
Fe = 1/Te est la frequence d'echantillonnage

Theoreme de Shannon :

Fe >= 2*Fmax

Pour eviter le repliement spectral (aliasing).

En pratique :

Fe >= (6 a 40) x BW_systeme

ou BW_systeme est la bande passante du systeme.

Choix de Te :

• Trop grande : perte d'information, instabilite
• Trop petite : charge calcul, cout, problemes numeriques
• Compromis selon application

2. Bloqueur d'Ordre Zero (BOZ / ZOH)

Fonction :

Maintenir la valeur de sortie constante entre deux echantillons :

u(t) = u[k]  pour k*Te <= t < (k+1)*Te

Fonction de transfert :

G_BOZ(s) = (1 - e^(-Te*s)) / s

Effet frequentiel :

Attenuation haute frequence (similaire a filtre passe-bas).

Retard equivalent :

Environ Te/2 (retard moyen introduit)

3. Transformee en Z

Definition :

Z{s[k]} = S(z) = Sum s[k]*z^(-k)  pour k=0 a infini

ou z = e^(Te*s) relie plan de Laplace au plan en Z

Figure : Schema bloc d'un systeme de commande numerique avec correcteur C(z) Figure: Block diagram of a digital control system with controller C(z)

Proprietes :

• Linearite : Z{a*x[k] + b*y[k]} = a*X(z) + b*Y(z)
• Retard : Z{x[k-n]} = z^(-n)*X(z)
• Avance : Z{x[k+n]} = z^n*(X(z) - Sum x[k]*z^(-k))
• Valeur initiale : x[0] = lim(z->infini) X(z)
• Valeur finale : x[infini] = lim(z->1) (z-1)*X(z) (si stable)

Transformees usuelles :

• Echelon : Z{1[k]} = z/(z-1)
• Rampe : Z{k} = Te*z/(z-1)^2
• Exponentielle : Z{e^(a*k*Te)} = z/(z-e^(a*Te))
• Sinusoide : Z{sin(w*k*Te)} = z*sin(w*Te)/(z^2-2z*cos(w*Te)+1)

4. Fonction de Transfert en Z

Definition :

H(z) = Y(z)/U(z) = (b0 + b1*z^(-1) + ... + bm*z^(-m)) / (1 + a1*z^(-1) + ... + an*z^(-n))

Equation aux differences :

y[k] = -a1*y[k-1] - ... - an*y[k-n] + b0*u[k] + b1*u[k-1] + ... + bm*u[k-m]

Forme directement implementable sur calculateur.

Passage continu -> discret :

Methode d'Euler avant :

s -> (z-1)/Te

Methode d'Euler arriere (backward) :

s -> (z-1)/(Te*z)

Methode de Tustin (trapezoidale) :

s -> (2/Te)*(z-1)/(z+1)

Plus precise, preserve mieux stabilite.

Methode de la reponse impulsionnelle invariante

Methode ZOH (blocage d'ordre zero) :

H(z) = Z{L^(-1){G(s)/s * (1 - e^(-Te*s))}}

Methode exacte pour systeme precede d'un BOZ.

5. Stabilite des Systemes Discrets

Condition de stabilite :

Tous les poles dans le cercle unite du plan en Z :

|z_i| < 1  pour tout pole z_i

Relation avec plan de Laplace :

• Demi-plan gauche (stable continu) -> Interieur cercle unite (stable discret)
• Axe imaginaire -> Cercle unite
• Demi-plan droit (instable) -> Exterieur cercle unite

Critere de Jury :

Table de Routh equivalente pour temps discret. Verifie si polynome a racines dans cercle unite.

Lieu d'Evans discret :

Similaire au continu mais interpretation differente (cercle unite).

6. Analyse Frequentielle Discrete

Reponse frequentielle :

H(e^(jw*Te)) = H(z)|_(z=e^(jw*Te))

Periodique de periode Fe (repliement).

Diagrammes de Bode discrets :

• Gain : |H(e^(jw*Te))|_(dB)
• Phase : arg(H(e^(jw*Te)))

Traces pour w dans [0, pi/Te] (jusqu'a Fe/2).

Marges de stabilite :

• Marge de gain
• Marge de phase

Interpretation similaire au continu.

7. Regulateur PID Numerique

Forme continue :

C(s) = Kp + Ki/s + Kd*s

Discretisation :

Forme vitesse (incrementale) :

Du[k] = u[k] - u[k-1]
Du[k] = q0*e[k] + q1*e[k-1] + q2*e[k-2]

Ou :

• q0 = Kp + Ki*Te + Kd/Te
• q1 = -Kp - 2*Kd/Te
• q2 = Kd/Te

Forme position :

u[k] = Kp*e[k] + Ki*Te*Sum(e[k]) + Kd*(e[k]-e[k-1])/Te

Action proportionnelle :

uP[k] = Kp*e[k]

Action integrale (methode rectangulaire) :

uI[k] = uI[k-1] + Ki*Te*e[k]

Action derivee :

uD[k] = Kd*(e[k] - e[k-1])/Te

Souvent filtree pour reduire bruit :

uD[k] = alpha*uD[k-1] + Kd*(1-alpha)*(e[k]-e[k-1])/Te

8. Correcteurs Polynomiaux RST

Structure :

R(z)*U(z) = T(z)*Yref(z) - S(z)*Y(z)

Ou :

• R, S, T sont des polynomes en z^(-1)
• Offre plus de degres de liberte que PID

Equation de commande :

u[k] = (1/r0)*[t0*yref[k] + ... - s0*y[k] - s1*y[k-1] - ... - r1*u[k-1] - ...]

Synthese par placement de poles :

Resolution de l'equation diophantienne :

A*R + B*S = P_desire

Ou P_desire contient les poles en boucle fermee souhaites.

Avantages :

• Placement precis des poles
• Gestion des zeros du systeme
• Robustesse ajustable

9. Commande Predictive (MPC)

Principe :

Optimiser une sequence de commandes futures pour minimiser un critere.

Critere :

J = Sum [w_y*(yref[k+i] - y[k+i])^2 + w_u*Du[k+i]^2]

Sur un horizon de prediction.

Algorithme :

1. Predire sortie future avec modele
2. Optimiser commande pour minimiser J
3. Appliquer premiere commande u[k]
4. Repeter a chaque instant (receding horizon)

Avantages :

• Gestion naturelle des contraintes (saturation)
• Anticipation (action predictive)
• MIMO naturellement

Inconvenients :

• Charge calcul elevee
• Necessite modele precis

10. Aspects Pratiques d'Implementation

Quantification :

• ADC : signal analogique -> valeur numerique
• Calculs : virgule fixe ou flottante
• DAC : valeur numerique -> signal analogique

Erreurs de quantification peuvent causer :

• Cycles limites (oscillations)
• Degradation de performance

Saturations :

Actionneurs ont limites physiques :

u_min <= u[k] <= u_max

Anti-windup :

Quand u sature, l'integrateur continue a s'accumuler (windup).

Solution :

Si u sature:
  uI[k] = uI[k-1]  (geler integrale)
ou
  uI[k] = u_sat - uP[k] - uD[k]  (back-calculation)

Filtre derive :

L'action derivee amplifie le bruit. Filtrer avec passe-bas :

D_filtre(z) = Kd*z/(z + alpha)  avec 0 < alpha < 1

Bumpless transfer :

Lors de changement de mode (manuel -> auto), eviter saut brutal :

• Initialiser correctement l'integrateur
• Transition douce

Temps d'execution :

Le code de commande doit s'executer en moins de Te :

T_exec < Te

Sinon, instabilite ou perte d'echantillons.

Optimisations :

• Code efficace (eviter fonctions couteuses)
• Utiliser virgule fixe si necessaire
• Interruptions pour timing precis

11. Observateurs Discrets

Problematique :

Si toutes les variables d'etat ne sont pas mesurees, les estimer.

Observateur de Luenberger discret :

x_hat[k+1] = A*x_hat[k] + B*u[k] + L*(y[k] - y_hat[k])
y_hat[k] = C*x_hat[k]

Placement des poles de l'observateur :

Plus rapides que ceux du systeme (2-5 fois).

Filtre de Kalman :

Observateur optimal en presence de bruit.

12. Outils de Simulation et Test

Matlab/Simulink :

• Blocs temps discret
• Modelisation systeme mixte (continu + discret)
• Discretisation automatique (c2d)
• Analyse performance

Processor-in-the-Loop (PIL) :

Simulation avec code reel sur processeur cible. Verifie comportement avec quantification, timing reel.

Hardware-in-the-Loop (HIL) :

Controleur reel + systeme simule temps reel. Validation avant tests sur systeme physique.

Banc d'essai :

Test sur systeme reel avec instrumentation. Validation finale.

PARTIE D : PARTIE ANALYTIQUE

Connaissances et competences mobilisees

• Theorie de l'echantillonnage et transformee en Z
• Discretisation de systemes continus
• Analyse de stabilite des systemes discrets
• Synthese de correcteurs numeriques (PID, RST, MPC)
• Programmation de lois de commande sur microcontroleur
• Gestion des aspects pratiques (quantification, saturation, timing)
• Utilisation de Matlab/Simulink pour conception et simulation
• Validation experimentale sur systemes reels
• Optimisation de code pour temps reel

Auto-evaluation

Ce cours a ete crucial pour comprendre que la commande numerique n'est pas qu'une simple discretisation de la commande continue. L'echantillonnage introduit des phenomenes specifiques (repliement, retard) qui doivent etre pris en compte.

La transformee en Z, initialement abstraite, est devenue un outil naturel apres pratique. La correspondance plan s <-> plan z est fondamentale pour comprendre comment les proprietes continues se transposent en discret.

Le choix de la periode d'echantillonnage est un compromis delicat. J'ai appris qu'il ne suffit pas de respecter Shannon; il faut echantillonner suffisamment vite pour que le comportement discret soit proche du continu, mais pas trop pour eviter problemes numeriques et charge calcul.

Le PID numerique semble simple mais les details d'implementation (forme vitesse vs position, anti-windup, filtre derive) sont essentiels pour performance et robustesse. Les problemes de windup peuvent causer des comportements tres surprenants.

Les correcteurs RST offrent beaucoup plus de flexibilite que le PID. La synthese par placement de poles est elegante mathematiquement, mais le choix des poles desires reste un art (compromis performance/robustesse).

La commande predictive (MPC) est seduisante pour sa capacite a gerer contraintes et anticipation. Cependant, la charge calcul peut etre prohibitive pour systemes rapides ou microcontroleurs limites. C'est un domaine de recherche actif.

L'implementation sur microcontroleur m'a confronte a des problemes pratiques souvent ignores en cours theoriques : timing d'interruptions, virgule fixe vs flottante, gestion des depassements arithmetiques. Le code doit etre robuste et efficace.

Les simulations Processor-in-the-Loop ont revele des ecarts entre theorie et pratique : quantification, arrondis, delais de calcul peuvent degrader performance voire destabiliser.

Mon avis

Ce cours est indispensable a l'ere du numerique. Pratiquement toute commande moderne est implementee sur calculateur. Maitriser les specificites du discret est donc essentiel.

Points forts :

• Equilibre theorie mathematique / implementation pratique
• Outils modernes (Matlab, microcontroleurs)
• Projets hands-on avec systemes reels
• Prise en compte des contraintes pratiques

Points a ameliorer :

• Plus de temps sur commande predictive (MPC)
• Aspects multi-taches et systemes d'exploitation temps reel
• Commande adaptative et robuste
• Certification (normes industrielles)

Reflexions personnelles :

La commande numerique a revolutionne l'automatique. Ce qui etait impensable en analogique (MPC, observateurs complexes, adaptation) devient possible avec des microcontroleurs peu couteux.

Cependant, la puissance de calcul disponible peut donner une fausse impression de facilite. Un correcteur mal concu (instabilite numerique, parametres inadaptes) ne marchera pas mieux sous pretexte qu'il est numerique.

La tendance est a l'augmentation de la puissance de calcul (processeurs multi-coeurs, FPGA, DSP). Cela ouvre des possibilites (fusion multi-capteurs, traitement d'image embarque, IA embarquee) mais necessite expertise en programmation temps reel et optimisation.

La separation traditionnelle entre electronicien et informaticien s'estompe. L'ingenieur moderne doit maitriser hardware (capteurs, actionneurs, electronique) ET software (algorithmes, programmation embarquee, architectures logicielles).

Applications professionnelles :

Ces competences sont applicables dans tous les domaines de l'automatique industrielle :

• Robotique (commande d'articulations)
• Automobile (ESP, ABS, controle moteur)
• Aeronautique (pilote automatique)
• Procedes industriels (regulation temperature, pression, debit)
• Energie (onduleurs, convertisseurs)
• Drones (stabilisation, navigation)

La maitrise de la commande numerique, couplee a des competences en traitement du signal et systemes embarques, est un profil tres recherche en industrie.

L'avenir verra probablement :

• Integration de l'IA dans les boucles de commande
• Commande distribuee et collaborative (systemes multi-agents)
• Auto-tuning et adaptation automatique
• Co-design hardware/software pour optimisation globale

Avoir des bases solides en commande numerique classique est le prerequis pour comprendre et contribuer a ces evolutions futures.

Documents de Cours

Cours suivi en 2023-2024 a l'INSA Toulouse, Departement Genie Electrique et Informatique.