Modelisation et Commande des Systemes Lineaires Continus - S5

Annee: 2022-2023 (Semestre 5)
Credits: 3 ECTS
Type: Automatique et Systemes
Enseignant: Subias

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PART A: PRESENTATION GENERALE

Objectifs du cours

Ce cours approfondit la commande des systemes lineaires continus avec une approche complementaire au cours de representation d'etat. Il se concentre sur les techniques de commande classiques (PID, correcteurs frequentiels) et leur application pratique sur des systemes reels. Le cours couvre la modelisation de systemes physiques, l'analyse de stabilite et de performances, ainsi que la conception de lois de commande adaptees.

Competences visees

• Modeliser des systemes physiques continus (mecaniques, electriques, thermiques)
• Concevoir et regler des correcteurs PID pour des applications industrielles
• Analyser la stabilite par methodes frequentielles (Bode, Nyquist)
• Dimensionner des compensateurs (avance, retard de phase)
• Utiliser MATLAB/Simulink pour la simulation et l'analyse
• Evaluer les performances temporelles et frequentielles
• Implementer des lois de commande sur systemes reels

Organisation

• Volume horaire: Cours magistraux, TD et TP MATLAB/Simulink
• Evaluation: Examen ecrit, TPs notes, Projet robot
• Semestre: 5 (2022-2023)
• Prerequis: Transformee de Laplace, systemes du 1er et 2nd ordre, algebre

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PART B: EXPERIENCE, CONTEXTE ET FONCTION

Contenu pedagogique

Le cours se structure autour de la modelisation, l'analyse et la commande de systemes continus.

1. Modelisation de Systemes Physiques

Systemes mecaniques:

Systeme masse-ressort-amortisseur:

• m : masse
• k : raideur du ressort
• f : coefficient d'amortissement

Equation: m x d²x/dt² + f x dx/dt + k x x = F(t)

Fonction de transfert: H(s) = 1 / (m x s² + f x s + k)

Systemes electriques (circuit RLC):

Equation: L x d²i/dt² + R x di/dt + i/C = dV/dt

Similitude avec systeme mecanique (L ↔ m, R ↔ f, 1/C ↔ k).

Moteur a courant continu:

Modele simplifie du TP:

• Constante de temps: Tm = 0.3s
• Gain: Km = 47.8
• Fonction de transfert: H(s) = Km / (Tm x s + 1)

2. Analyse Temporelle

Reponse indicielle d'un systeme du 2nd ordre:

Parametres caracteristiques:

• Temps de montee (rise time)
• Depassement (overshoot): D = exp(-pi x zeta / sqrt(1-zeta²))
• Temps de reponse a 5% (settling time)
• Erreur statique

Pour un systeme bien amorti: zeta = 0.7 donne D ≈ 5%.

Classe d'un systeme:

Determine l'erreur statique selon le type d'entree:

• Classe 0: erreur pour echelon
• Classe 1: erreur pour rampe
• Classe 2: erreur pour parabole

3. Analyse Frequentielle

Diagrammes de Bode (TP1):

Representation du gain et de la phase en fonction de la frequence.

Systeme identifie experimentalement: H(s) = 0.717 / (0.0033 x s + 1)

Mesures realisees:

• Frequences: 0.05 Hz a 10 Hz
• Gain: de -3.5 dB a -24 dB
• Phase: de -2.2 deg a -90 deg

Marges de stabilite (TP2):

Marge de gain (Gm): gain supplementaire avant instabilite.

Marge de phase (Pm): phase supplementaire avant instabilite.

Criteres de robustesse:

• Pm > 45 deg : bon amortissement
• Gm > 6 dB : bonne marge

Commande MATLAB:

[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(sys);

Resultats typiques du TP: Pm ≈ 60 deg (systeme robuste).

Diagramme de Nyquist:

Trace de H(jω) dans le plan complexe.

Critere de Nyquist: nombre d'encerclements du point critique (-1, 0) determine la stabilite.

4. Commande PID

Structure du PID:

Correcteur Proportionnel-Integral-Derive:

u(t) = Kp x e(t) + Ki x ∫e(t)dt + Kd x de(t)/dt

En transfert: C(s) = Kp + Ki/s + Kd x s

Actions du PID:

Action	Effet	Utilisation
P (Proportionnel)	Reduit l'erreur, augmente rapidite	Toujours present
I (Integral)	Annule erreur statique	Erreur permanente
D (Derive)	Reduit depassement, ameliore stabilite	Systemes oscillants

Reglage par Ziegler-Nichols:

Methode empirique pour determiner Kp, Ki, Kd:

1. Mettre Ki = 0, Kd = 0
2. Augmenter Kp jusqu'a oscillations (Kp critique)
3. Mesurer periode d'oscillation Tu
4. Appliquer les formules de reglage

Pour PID: Kp = 0.6 x Kpcritique, Ti = 0.5 x Tu, Td = 0.125 x Tu.

Limitation anti-windup:

Probleme: l'integrale continue a s'accumuler meme si la commande sature.

Solution: limiter l'integrateur quand la sortie sature.

5. Correcteurs Frequentiels

Correcteur a avance de phase:

Forme: C(s) = K x (1 + a x T x s) / (1 + T x s) avec a > 1

Effet: augmente la marge de phase, ameliore rapidite.

Utilise quand: systeme trop lent ou marge de phase insuffisante.

Correcteur a retard de phase:

Forme: C(s) = K x (1 + T x s) / (1 + a x T x s) avec a > 1

Effet: augmente la marge de gain, reduit erreur statique.

Utilise quand: erreur statique trop importante.

Correcteur avance-retard:

Combinaison des deux pour ameliorer simultanement rapidite et precision.

6. Projet Robot Auto-Equilibre

Systeme du pendule inverse:

Modelisation du robot NXT Way (Lego Mindstorms):

Parametres physiques:

• Masse roues: m = 0.03 kg
• Rayon roues: R = 0.042 m
• Masse corps: M = 0.67 kg
• Hauteur: H = 0.152 m
• Gravite: g = 9.81 m/s²

Objectif: maintenir le robot en equilibre vertical (angle θ = 0 deg).

Strategie de commande:

Systeme instable en boucle ouverte → necessite commande active.

Approches possibles:

• Retour d'etat (placement de poles)
• Correcteur PID sur l'angle
• Observateur pour estimer vitesse angulaire

Simulation Simulink:

Fichiers du projet:

• NXTwaySim.slx: modele complet du robot
• NXP_robot_parameters.m: parametres physiques
• PlayAnimation.m: visualisation 3D

Tests effectues:

• Stabilisation apres perturbation
• Robustesse aux variations de parametres
• Rejection de perturbations externes

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PART C: ASPECTS TECHNIQUES

Travaux Pratiques MATLAB

TP1: Identification experimentale:

Objectif: determiner la fonction de transfert d'un systeme reel a partir de mesures frequentielles.

Donnees mesurees (gains et phases a differentes frequences):

freq = [0.05, 0.1, 0.25, 0.5, 1, 2.5, 5, 7.5, 10];
G = [0.669, 0.659, 0.609, 0.528, 0.396, 0.242, 0.119, 0.083, 0.061];

Trace du diagramme de Bode:

G_dB = 20*log10(G);
semilogx(freq, G_dB);
xlabel('Frequence (Hz)');
ylabel('Gain (dB)');

Modele identifie: systeme du 1er ordre avec gain 0.717 et constante de temps 3.3 ms.

TP2: Analyse de stabilite:

Systeme en boucle fermee avec capteur et moteur:

Ks = 1.55;   % Gain capteur
Km = 47.8;   % Gain moteur
Tm = 0.3;    % Constante de temps

num = [Km*K/9];
den = [Tm, 1, Km*K*Ks/9];
sys = tf(num, den);

[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(sys);

Analyse des poles:

P = pole(sys);

Si partie reelle negative → systeme stable.

TP3: Commande par retour d'etat:

Systeme d'ordre 2:

A = [0 1; -10 -6.316];
B = [0; 1];
C = [k/0.1001 0];

% Placement de poles
poles_desired = [-2+2i, -2-2i];
K = place(A, B, poles_desired);

% Simulation
sys_cl = ss(A-B*K, B, C, 0);
step(sys_cl);

Choix des poles selon performances souhaitees:

• Partie reelle: rapidite
• Partie imaginaire: oscillations

Outils MATLAB Essentiels

Creation de modeles:

sys = tf(num, den);        % Fonction de transfert
sys = ss(A, B, C, D);      % Representation d'etat

Analyse:

pole(sys);                 % Poles
zero(sys);                 % Zeros
step(sys);                 % Reponse indicielle
bode(sys);                 % Diagramme de Bode
nyquist(sys);              % Diagramme de Nyquist
margin(sys);               % Marges de stabilite

Conception:

K = place(A, B, poles);    % Placement de poles
pidtune(sys, 'PID');       % Reglage PID automatique

Methodologie de Conception

Etapes de conception d'un asservissement:

1. Modelisation: obtenir H(s) du systeme
2. Analyse BO: stabilite, performances en boucle ouverte
3. Specifications: definir depassement, temps de reponse, erreur admissible
4. Choix correcteur: PID, avance/retard selon besoins
5. Reglage: calcul des parametres (Kp, Ki, Kd)
6. Simulation: validation avec Simulink
7. Tests: robustesse, perturbations, variations parametres

Compromis a gerer:

• Rapidite vs stabilite
• Precision vs robustesse
• Complexite vs performances

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PART D: ANALYSE ET REFLEXION

Competences acquises

Modelisation:

• Passage du systeme physique au modele mathematique
• Identification experimentale de parametres
• Validation par comparaison mesures/simulation

Analyse:

• Stabilite par Routh, Bode, Nyquist
• Performances temporelles et frequentielles
• Evaluation de robustesse (marges)

Commande:

• Conception de correcteurs PID
• Reglage par methodes empiriques et theoriques
• Placement de poles pour specifications donnees

Outils:

• Maitrise de MATLAB/Simulink
• Interpretation de diagrammes (Bode, Nyquist)
• Simulation et validation

Applications pratiques

Les techniques de ce cours s'appliquent a de nombreux domaines:

Industrie:

• Regulation de temperature, pression, debit
• Controle de vitesse de moteurs
• Positionnement de systemes mecaniques

Robotique:

• Stabilisation (pendule inverse, robot equilibre)
• Suivi de trajectoire
• Controle de force

Aeronautique:

• Pilote automatique
• Stabilisation d'attitude
• Controle de vol

Automobile:

• Regulateur de vitesse (cruise control)
• Suspension active
• Controle de moteur

Liens avec autres cours

Cours	Lien
Circuits et Filtres Analogiques (S5)	Analyse frequentielle, Bode
Modelisation Systemes Lineaires (S5)	Representation d'etat
Systemes Boucles (S5)	Asservissements
Commande Numerique (S8)	Discretisation, PID numerique
Temps Reel (S8)	Implementation des lois de commande

Mon opinion

Ce cours est complementaire au cours de representation d'etat en apportant les outils classiques de l'automatique industrielle.

Points forts:

• Approche tres pratique (PID, reglages empiriques)
• Outils directement utilisables en industrie
• TPs concrets avec identification et commande
• Projet robot motivant et formateur

Complementarite:

Le PID reste le correcteur le plus utilise industriellement (>90% des boucles de regulation). La representation d'etat apporte la theorie moderne, le PID apporte la pratique immediate.

Importance professionnelle:

Competences tres recherchees dans l'automatisation industrielle, la robotique et les systemes embarques. Le reglage de PID est une competence de base pour tout ingenieur en automatique.

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Bilan personnel: Ce cours a apporte les techniques classiques et eprouvees de l'automatique. La complementarite avec l'approche moderne (etat) offre une boite a outils complete. Les TPs MATLAB et le projet robot ont permis d'appliquer concretement ces concepts sur des systemes reels, preparant bien aux applications industrielles.

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Rapports et Projets

[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(sys);

freq = [0.05, 0.1, 0.25, 0.5, 1, 2.5, 5, 7.5, 10];
G = [0.669, 0.659, 0.609, 0.528, 0.396, 0.242, 0.119, 0.083, 0.061];

G_dB = 20*log10(G);
semilogx(freq, G_dB);
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Gain (dB)');

Ks = 1.55;   % Sensor gain
Km = 47.8;   % Motor gain
Tm = 0.3;    % Time constant

num = [Km*K/9];
den = [Tm, 1, Km*K*Ks/9];
sys = tf(num, den);

[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(sys);

P = pole(sys);

A = [0 1; -10 -6.316];
B = [0; 1];
C = [k/0.1001 0];

% Pole placement
poles_desired = [-2+2i, -2-2i];
K = place(A, B, poles_desired);

% Simulation
sys_cl = ss(A-B*K, B, C, 0);
step(sys_cl);

sys = tf(num, den);        % Transfer function
sys = ss(A, B, C, D);      % State-space representation

pole(sys);                 % Poles
zero(sys);                 % Zeros
step(sys);                 % Step response
bode(sys);                 % Bode diagram
nyquist(sys);              % Nyquist diagram
margin(sys);               % Stability margins

K = place(A, B, poles);    % Pole placement
pidtune(sys, 'PID');       % Automatic PID tuning