🔄 Systèmes Bouclés - S5

Année: 2022-2023 (Semestre 5)
Crédits: 3 ECTS
Type: Automatique et Régulation

---

PART A: PRÉSENTATION GÉNÉRALE

Objectifs du cours

Ce cours traite des systèmes asservis (bouclés) en se concentrant sur l'analyse des performances, la stabilité, et la synthèse de correcteurs. L'accent est mis sur les méthodes classiques de l'automatique (PID, correcteurs fréquentiels) et leur application pratique sur des systèmes réels comme les asservissements de position.

Compétences visées

• Comprendre les principes de l'asservissement et du retour d'information
• Analyser la stabilité des systèmes bouclés (Routh, Bode, Nyquist)
• Évaluer les performances temporelles et fréquentielles
• Concevoir des correcteurs PID et à avance/retard de phase
• Utiliser le lieu des racines pour la synthèse
• Maîtriser MATLAB pour la simulation d'asservissements
• Dimensionner des correcteurs selon un cahier des charges
• Analyser les compromis stabilité/rapidité/précision

Organisation

• Volume horaire: Cours magistraux, TD et TP MATLAB
• Évaluation: Examen écrit + TPs
• Semestre: 5 (2022-2023)
• Prérequis: Transformée de Laplace, fonctions de transfert, systèmes linéaires

---

PART B: EXPÉRIENCE, CONTEXTE ET FONCTION

Contenu pédagogique

Le cours s'articule autour de l'asservissement et de la régulation automatique.

1. Introduction aux systèmes asservis

Principe de l'asservissement:

Un système asservi compare continuellement la sortie (mesurée) à la consigne (référence) et ajuste la commande pour minimiser l'écart (erreur).

Boucle ouverte vs boucle fermée:

Aspect	Boucle ouverte	Boucle fermée (asservie)
Structure	Pas de retour	Retour de la sortie
Précision	Dépend de la qualité du système	Compense les perturbations
Stabilité	Généralement stable	Peut devenir instable
Robustesse	Sensible aux variations	Robuste aux perturbations
Exemple	Machine à laver	Thermostat

Avantages de la boucle fermée:

• Réduction de l'erreur statique
• Réjection des perturbations
• Réduction de la sensibilité aux variations de paramètres
• Amélioration de la dynamique

Inconvénients:

• Risque d'instabilité
• Nécessite des capteurs
• Plus complexe à concevoir

Structure générale d'un asservissement:

Composants:

• Consigne (référence): valeur désirée
• Comparateur: calcule l'erreur = consigne - mesure
• Correcteur: élabore la commande à partir de l'erreur
• Actionneur: exécute la commande (moteur, vanne, chauffage)
• Système (procédé): élément à commander
• Capteur: mesure la sortie
• Perturbations: influences externes

2. Analyse temporelle

Caractéristiques de la réponse indicielle:

Pour un échelon en entrée, on observe:

Paramètre	Notation	Description
Temps de montée	tm	Temps pour passer de 10% à 90%
Temps de réponse	tr	Temps pour rester dans 5% de la valeur finale
Dépassement	D	Amplitude du premier pic au-dessus de la valeur finale
Temps de pic	tp	Temps pour atteindre le premier pic
Erreur statique	eps	Écart permanent entre consigne et sortie

Systèmes du 1er ordre:

Forme canonique: H(s) = K / (1 + T×s)

Caractéristiques:

• Pas de dépassement
• Temps de réponse à 5%: tr = 3×T
• Constante de temps T détermine la rapidité

Systèmes du 2nd ordre:

Forme canonique: H(s) = omega_n² / (s² + 2×zeta×omega_n×s + omega_n²)

Paramètres:

• omega_n: pulsation naturelle (rapidité)
• zeta: coefficient d'amortissement (oscillations)

Comportement selon zeta:

• zeta > 1: sur-amorti (lent, pas de dépassement)
• zeta = 1: amorti critique (optimal)
• 0 < zeta < 1: sous-amorti (rapide, avec dépassement)
• zeta = 0: oscillations permanentes

Dépassement: D = exp(-pi×zeta / sqrt(1-zeta²))

Pour zeta = 0.7: D ≈ 5% (bon compromis)

Erreur statique:

Dépend de la classe du système en boucle ouverte:

Classe	Intégrateurs	Erreur échelon	Erreur rampe
0	Aucun	eps ≠ 0	Infinie
1	1/s	eps = 0	eps ≠ 0
2	1/s²	eps = 0	eps = 0

Pour réduire l'erreur statique: ajouter un intégrateur (action I du PID).

3. Stabilité des systèmes bouclés

Définition:

Un système est stable si toute entrée bornée produit une sortie bornée (stabilité BIBO).

Condition: tous les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée doivent avoir une partie réelle négative.

Critère de Routh-Hurwitz:

Méthode algébrique pour déterminer la stabilité sans calculer les pôles.

Construction du tableau de Routh à partir du polynôme caractéristique.

Règle: le système est stable si tous les éléments de la première colonne sont strictement positifs.

Avantage: détection de l'instabilité sans résoudre l'équation.

Marges de stabilité:

Marge de gain (Mg):

• Gain supplémentaire admissible avant instabilité
• Mesurée à la pulsation où la phase vaut -180°
• Exprimée en dB
• Mg > 6 dB souhaitable

Marge de phase (Mphi):

• Phase supplémentaire admissible avant instabilité
• Mesurée à la pulsation de coupure (gain = 0 dB)
• Exprimée en degrés
• Mphi > 45° souhaitable

Plus les marges sont grandes, plus le système est robuste.

4. Analyse fréquentielle

Diagrammes de Bode:

Représentation du gain (en dB) et de la phase (en degrés) en fonction de la fréquence (échelle logarithmique).

Gain en dB: G_dB = 20×log10(module de H(jw))

Intérêt:

• Visualiser bande passante
• Lire marges de stabilité
• Concevoir correcteurs graphiquement

Comportements asymptotiques:

Élément	Gain (dB/décade)	Phase
Gain K	20×log(K)	0°
1/s	-20	-90°
1/(1+T×s)	0 puis -20	0° puis -90°
(1+T×s)	0 puis +20	0° puis +90°

Pulsation de coupure: fréquence où le gain vaut 0 dB. Liée à la rapidité du système.

Diagramme de Nyquist:

Tracé de H(jw) dans le plan complexe quand w varie de 0 à l'infini.

Critère de Nyquist: Le système bouclé est stable si le point critique (-1, 0) n'est pas encerclé par la courbe.

Distance au point critique: indicateur de robustesse.

Abaque de Black-Nichols:

Combinaison gain-phase avec courbes iso-gain et iso-phase en boucle fermée.

Permet de lire directement les performances en boucle fermée à partir de la boucle ouverte.

5. Correcteurs classiques

Correcteur Proportionnel (P):

Forme: C(s) = Kp

Effet:

• Réduit l'erreur statique
• Augmente la rapidité
• Peut dégrader la stabilité (diminue marges)
• Ne supprime pas l'erreur statique

Correcteur Proportionnel-Intégral (PI):

Forme: C(s) = Kp × (1 + 1/(Ti×s))

Effet:

• Annule l'erreur statique (intégrateur)
• Améliore la précision
• Dégrade la marge de phase (retard de phase)
• Ralentit légèrement le système

Correcteur Proportionnel-Dérivé (PD):

Forme: C(s) = Kp × (1 + Td×s)

Effet:

• Améliore la stabilité (avance de phase)
• Augmente la rapidité
• Amplifie le bruit haute fréquence
• N'améliore pas l'erreur statique

Correcteur PID:

Forme: C(s) = Kp × (1 + 1/(Ti×s) + Td×s)

Combinaison des trois actions:

• P: action principale, proportionnelle à l'erreur
• I: supprime l'erreur statique
• D: anticipe l'évolution, améliore stabilité

Réglage de Ziegler-Nichols (méthode de la boucle fermée):

1. Mettre Ti = infini et Td = 0 (correcteur P)
2. Augmenter Kp jusqu'à obtenir des oscillations permanentes
3. Noter Kp_critique et période d'oscillation Tu
4. Calculer les paramètres selon le type:

Type	Kp	Ti	Td
P	0.5×Kp_critique	-	-
PI	0.45×Kp_critique	0.83×Tu	-
PID	0.6×Kp_critique	0.5×Tu	0.125×Tu

Correcteur à avance de phase:

Forme: C(s) = K × (1 + a×T×s) / (1 + T×s) avec a > 1

Effet:

• Apporte une avance de phase (améliore marge de phase)
• Augmente la rapidité
• Permet de stabiliser un système instable

Utilisé quand: marge de phase insuffisante ou système trop lent.

Correcteur à retard de phase:

Forme: C(s) = K × (1 + T×s) / (1 + a×T×s) avec a > 1

Effet:

• Augmente le gain basse fréquence
• Réduit l'erreur statique
• Peu d'impact sur la dynamique

Utilisé quand: erreur statique trop importante.

6. Lieu des racines

Principe:

Représentation graphique des pôles en boucle fermée quand un paramètre (généralement le gain K) varie de 0 à l'infini.

Utilité:

• Visualiser l'évolution de la stabilité
• Choisir le gain pour placer les pôles
• Identifier les zones de stabilité
• Concevoir des compensateurs

Règles de construction:

• Commence aux pôles de H(s) en boucle ouverte (K=0)
• Se termine aux zéros de H(s) (K→∞) ou à l'infini
• Nombre de branches = nombre de pôles
• Symétrie par rapport à l'axe réel
• Asymptotes vers l'infini

Pôles dominants:

Pôles les plus proches de l'axe imaginaire, qui gouvernent principalement la dynamique.

Les pôles éloignés ont moins d'influence sur la réponse temporelle.

Permet de simplifier l'analyse en ne considérant que les pôles dominants.

---

PART C: ASPECTS TECHNIQUES

Travaux Pratiques

TP: Asservissement de position d'un bras

Objectif: concevoir un asservissement de position pour un système mécanique.

Système typique: bras robotique avec moteur DC.

Étapes du TP:

1. Modélisation: obtenir la fonction de transfert du système
2. Analyse en boucle ouverte: stabilité, performances
3. Étude en boucle fermée: avec correcteur proportionnel
4. Conception de correcteur: PID ou avance de phase
5. Simulation: validation avec MATLAB/Simulink
6. Évaluation: vérification du cahier des charges

Cahier des charges typique:

• Temps de réponse < 0.5 s
• Dépassement < 10%
• Erreur statique nulle
• Marge de phase > 45°
• Rejet de perturbations

Outils MATLAB

Fonctions de base:

% Définir fonction de transfert
num = [1];
den = [1 2 1];
H = tf(num, den);

% Boucle fermée
Hbf = feedback(H, 1);

% Réponse indicielle
step(Hbf);
grid;

% Diagrammes de Bode
bode(H);
margin(H);  % Avec marges

% Lieu des racines
rlocus(H);

% Nyquist
nyquist(H);

% Pôles et zéros
pole(H)
zero(H)

Conception de correcteur PID:

% Correcteur PID manuel
Kp = 10;
Ki = 5;
Kd = 2;
C = pid(Kp, Ki, Kd);

% Système corrigé
Hcorrige = C * H;
Hbf = feedback(Hcorrige, 1);

% Validation
step(Hbf);

% Réglage automatique
C_auto = pidtune(H, 'PID');

Analyse de performances:

% Informations sur la réponse
info = stepinfo(Hbf);
% Contient: RiseTime, SettlingTime, Overshoot, etc.

% Marges de stabilité
[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(H);
fprintf('Marge de phase: %.1f degrés\n', Pm);
fprintf('Marge de gain: %.1f dB\n', 20*log10(Gm));

Travaux Dirigés

TD1: Systèmes du 1er et 2nd ordre

Exercices sur:

• Calcul de constantes de temps
• Détermination de paramètres (zeta, omega_n)
• Calcul de dépassement et temps de réponse
• Identification à partir de réponse temporelle

TD2: Stabilité et précision

Problématiques:

• Application du critère de Routh
• Détermination de plage de gains stables
• Calcul d'erreurs statiques
• Choix de correcteurs selon spécifications

TD3: Analyse fréquentielle

Exercices sur:

• Tracé de diagrammes de Bode asymptotiques
• Lecture de marges de stabilité
• Interprétation de Nyquist
• Conception graphique de correcteurs

TD4: Synthèse de correcteurs

Applications:

• Réglage de PID par Ziegler-Nichols
• Dimensionnement de correcteur à avance de phase
• Utilisation du lieu des racines
• Validation de cahier des charges

Méthodologie de conception

Démarche type:

1. Analyse du système: fonction de transfert, pôles, zéros
2. Spécifications: traduire cahier des charges en contraintes techniques
3. Choix du correcteur: selon défauts à corriger
4. Dimensionnement: calcul des paramètres (Kp, Ki, Kd, a, T)
5. Simulation: validation avec MATLAB
6. Ajustement: itérations si nécessaire
7. Robustesse: test avec variations de paramètres

Compromis à gérer:

Objectif	Compromis
Rapidité vs Stabilité	Gain élevé accélère mais déstabilise
Précision vs Robustesse	Gain élevé améliore précision mais réduit marges
Filtrage du bruit vs Rapidité	Dérivée amplifie le bruit

Règles pratiques:

• Commencer par un P, ajouter I si erreur statique
• Ajouter D si dépassement trop important
• Vérifier marges: Mphi > 45°, Mg > 6 dB
• Tester robustesse avec ±20% de variations

---

PART D: ANALYSE ET RÉFLEXION

Compétences acquises

Analyse:

• Évaluation de performances temporelles (tr, D, eps)
• Détermination de stabilité (Routh, marges)
• Interprétation de diagrammes fréquentiels
• Identification de systèmes par expérimentation

Conception:

• Choix de correcteur adapté au problème
• Dimensionnement de PID
• Synthèse par méthodes fréquentielles
• Optimisation de compromis

Outils:

• Maîtrise de MATLAB/Simulink pour l'automatique
• Utilisation de diagrammes (Bode, Nyquist, lieu racines)
• Simulation et validation de lois de commande

Applications industrielles

Les systèmes asservis sont omniprésents dans l'industrie:

Procédés industriels:

• Régulation de température (fours, réacteurs)
• Contrôle de pression (compresseurs, cuves)
• Régulation de débit (pompes, vannes)
• Contrôle de niveau (réservoirs)

Robotique:

• Asservissement de position des articulations
• Contrôle de trajectoire
• Stabilisation (robots équilibrés, drones)
• Contrôle de force (préhension, assemblage)

Automobile:

• Régulateur de vitesse (cruise control)
• ABS (antiblocage de roues)
• ESP (contrôle de stabilité)
• Suspension active

Aéronautique:

• Pilote automatique
• Contrôle d'attitude (tangage, roulis, lacet)
• Régulation de poussée
• Commandes de vol électriques

Électronique de puissance:

• Alimentations à découpage régulées
• Onduleurs pour moteurs
• Redresseurs actifs
• Batteries et chargeurs

Liens avec autres cours

Cours	Lien
Modélisation Systèmes Linéaires (S5)	Représentation d'état, observateurs
Systèmes Linéaires Continus (S5)	Fonctions de transfert, Laplace
Circuits Analogiques (S5)	Filtres, correcteurs analogiques
Électronique de Puissance (S6)	Asservissement de convertisseurs
Commande Numérique (S8)	Discrétisation, PID numérique
Temps Réel (S8)	Implémentation de régulateurs

Différences avec autres cours d'automatique

Systèmes Bouclés vs Systèmes Linéaires:

Aspect	Systèmes Bouclés	Systèmes Linéaires
Focus	Asservissement, correcteurs	Représentation d'état
Méthodes	Fréquentielles (Bode, Nyquist)	Temporelles (placement pôles)
Outils	PID, lieu racines	Retour d'état, observateurs
Approche	Classique, industrielle	Moderne, théorique

Complémentarité:

• Systèmes Bouclés: pratique industrielle immédiate (PID)
• Systèmes Linéaires: théorie moderne pour systèmes complexes

Évolution et perspectives

Commande avancée:

Les méthodes classiques restent majoritaires en industrie mais sont complétées par:

Commande optimale: LQR, LQG (minimisation de critère)

Commande robuste: H-infini, mu-synthèse (incertitudes)

Commande adaptative: ajustement automatique des paramètres

Commande prédictive: MPC (Model Predictive Control)

Intelligence artificielle:

• Réseaux de neurones pour identification
• Apprentissage par renforcement pour optimisation
• Contrôle flou (fuzzy logic)

Industrie 4.0:

• Supervision et monitoring en temps réel
• Maintenance prédictive
• Optimisation énergétique
• Jumeau numérique

Mon opinion

Ce cours est essentiel pour comprendre comment fonctionne la régulation automatique dans les systèmes réels.

Points forts:

• Approche pratique et industrielle
• Outils immédiatement utilisables (PID)
• Méthodes graphiques intuitives (Bode)
• TPs concrets avec systèmes physiques

Complémentarité:

Le PID reste le correcteur le plus utilisé industriellement (>90% des boucles de régulation). Sa simplicité et son efficacité en font un outil incontournable.

La compréhension des compromis stabilité/rapidité/précision est fondamentale pour toute conception de système automatique.

Applications concrètes:

Les notions apprises s'appliquent directement à:

• Thermostat domestique (régulation température)
• Régulateur de vitesse automobile
• Drones et stabilisation
• Robots industriels
• Procédés chimiques

Importance professionnelle:

La maîtrise des asservissements est recherchée dans:

• Automatisation industrielle
• Robotique
• Aéronautique
• Automobile
• Électronique de puissance
• Systèmes embarqués

Lien avec la pratique:

Ce cours prépare à:

• Régler des régulateurs industriels
• Diagnostiquer problèmes d'instabilité
• Optimiser performances de boucles existantes
• Concevoir nouvelles régulations

---

Bilan personnel: Ce cours a fourni les outils classiques de l'automatique industrielle. La compréhension du PID et des méthodes fréquentielles est directement applicable en contexte professionnel. La combinaison avec le cours de représentation d'état offre une vision complète de l'automatique moderne. Les TPs sur systèmes réels (asservissement de position) ont permis de confronter théorie et pratique, révélant l'importance des compromis et de la robustesse dans les applications concrètes.

---

📚 Documents de Cours

Voici les supports de cours en PDF pour approfondir les systèmes bouclés :

% Define transfer function
num = [1];
den = [1 2 1];
H = tf(num, den);

% Closed-loop
Hcl = feedback(H, 1);

% Step response
step(Hcl);
grid;

% Bode diagrams
bode(H);
margin(H);  % With margins

% Root locus
rlocus(H);

% Nyquist
nyquist(H);

% Poles and zeros
pole(H)
zero(H)

% Manual PID controller
Kp = 10;
Ki = 5;
Kd = 2;
C = pid(Kp, Ki, Kd);

% Corrected system
Hcorrected = C * H;
Hcl = feedback(Hcorrected, 1);

% Validation
step(Hcl);

% Automatic tuning
C_auto = pidtune(H, 'PID');

% Step response information
info = stepinfo(Hcl);
% Contains: RiseTime, SettlingTime, Overshoot, etc.

% Stability margins
[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(H);
fprintf('Phase margin: %.1f degrees\n', Pm);
fprintf('Gain margin: %.1f dB\n', 20*log10(Gm));