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🎚️ Modélisation et Commande des Systèmes Linéaires Continus - S5

Année: 2022-2023 (Semestre 5)
Crédits: 3 ECTS
Type: Automatique et Systèmes
Enseignant: Subias

PART A: PRÉSENTATION GÉNÉRALE

Objectifs du cours

Ce cours approfondit la commande des systèmes linéaires continus avec une approche complémentaire au cours de représentation d’état. Il se concentre sur les techniques de commande classiques (PID, correcteurs fréquentiels) et leur application pratique sur des systèmes réels. Le cours couvre la modélisation de systèmes physiques, l’analyse de stabilité et de performances, ainsi que la conception de lois de commande adaptées.

Compétences visées

Organisation

PART B: EXPÉRIENCE, CONTEXTE ET FONCTION

Contenu pédagogique

Le cours se structure autour de la modélisation, l’analyse et la commande de systèmes continus.

1. Modélisation de Systèmes Physiques

Systèmes mécaniques:

Système masse-ressort-amortisseur:

Équation: m × d²x/dt² + f × dx/dt + k × x = F(t)

Fonction de transfert: H(s) = 1 / (m×s² + f×s + k)

Systèmes électriques (circuit RLC):

Équation: L × d²i/dt² + R × di/dt + i/C = dV/dt

Similitude avec système mécanique (L ↔ m, R ↔ f, 1/C ↔ k).

Moteur à courant continu:

Modèle simplifié du TP:

2. Analyse Temporelle

Réponse indicielle d’un système du 2nd ordre:

Paramètres caractéristiques:

Pour un système bien amorti: ζ = 0.7 donne D ≈ 5%.

Classe d’un système:

Détermine l’erreur statique selon le type d’entrée:

3. Analyse Fréquentielle

Diagrammes de Bode (TP1):

Représentation du gain et de la phase en fonction de la fréquence.

Système identifié expérimentalement: H(s) = 0.717 / (0.0033×s + 1)

Mesures réalisées:

Marges de stabilité (TP2):

Marge de gain (Gm): gain supplémentaire avant instabilité.

Marge de phase (Pm): phase supplémentaire avant instabilité.

Critères de robustesse:

Commande MATLAB:

[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(sys);

Résultats typiques du TP: Pm ≈ 60° (système robuste).

Diagramme de Nyquist:

Tracé de H(jω) dans le plan complexe.

Critère de Nyquist: nombre d’encerclements du point critique (-1, 0) détermine la stabilité.

4. Commande PID

Structure du PID:

Correcteur Proportionnel-Intégral-Dérivé:

u(t) = Kp × e(t) + Ki × ∫e(t)dt + Kd × de(t)/dt

En transfert: C(s) = Kp + Ki/s + Kd×s

Actions du PID:

Action Effet Utilisation
P (Proportionnel) Réduit l’erreur, augmente rapidité Toujours présent
I (Intégral) Annule erreur statique Erreur permanente
D (Dérivé) Réduit dépassement, améliore stabilité Systèmes oscillants

Réglage par Ziegler-Nichols:

Méthode empirique pour déterminer Kp, Ki, Kd:

  1. Mettre Ki = 0, Kd = 0
  2. Augmenter Kp jusqu’à oscillations (Kp critique)
  3. Mesurer période d’oscillation Tu
  4. Appliquer les formules de réglage

Pour PID: Kp = 0.6×Kpcritique, Ti = 0.5×Tu, Td = 0.125×Tu.

Limitation anti-windup:

Problème: l’intégrale continue à s’accumuler même si la commande sature.

Solution: limiter l’intégrateur quand la sortie sature.

5. Correcteurs Fréquentiels

Correcteur à avance de phase:

Forme: C(s) = K × (1 + a×T×s) / (1 + T×s) avec a > 1

Effet: augmente la marge de phase, améliore rapidité.

Utilisé quand: système trop lent ou marge de phase insuffisante.

Correcteur à retard de phase:

Forme: C(s) = K × (1 + T×s) / (1 + a×T×s) avec a > 1

Effet: augmente la marge de gain, réduit erreur statique.

Utilisé quand: erreur statique trop importante.

Correcteur avance-retard:

Combinaison des deux pour améliorer simultanément rapidité et précision.

6. Projet Robot Auto-Équilibré

Système du pendule inversé:

Modélisation du robot NXT Way (Lego Mindstorms):

Paramètres physiques:

Objectif: maintenir le robot en équilibre vertical (angle θ = 0°).

Stratégie de commande:

Système instable en boucle ouverte → nécessite commande active.

Approches possibles:

Simulation Simulink:

Fichiers du projet:

Tests effectués:

PART C: ASPECTS TECHNIQUES

Travaux Pratiques MATLAB

TP1: Identification expérimentale:

Objectif: déterminer la fonction de transfert d’un système réel à partir de mesures fréquentielles.

Données mesurées (gains et phases à différentes fréquences):

freq = [0.05, 0.1, 0.25, 0.5, 1, 2.5, 5, 7.5, 10];
G = [0.669, 0.659, 0.609, 0.528, 0.396, 0.242, 0.119, 0.083, 0.061];

Tracé du diagramme de Bode:

G_dB = 20*log10(G);
semilogx(freq, G_dB);
xlabel('Fréquence (Hz)');
ylabel('Gain (dB)');

Modèle identifié: système du 1er ordre avec gain 0.717 et constante de temps 3.3 ms.

TP2: Analyse de stabilité:

Système en boucle fermée avec capteur et moteur:

Ks = 1.55;   % Gain capteur
Km = 47.8;   % Gain moteur
Tm = 0.3;    % Constante de temps

num = [Km*K/9];
den = [Tm, 1, Km*K*Ks/9];
sys = tf(num, den);

[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(sys);

Analyse des pôles:

P = pole(sys);

Si partie réelle négative → système stable.

TP3: Commande par retour d’état:

Système d’ordre 2:

A = [0 1; -10 -6.316];
B = [0; 1];
C = [k/0.1001 0];

% Placement de pôles
poles_desired = [-2+2i, -2-2i];
K = place(A, B, poles_desired);

% Simulation
sys_cl = ss(A-B*K, B, C, 0);
step(sys_cl);

Choix des pôles selon performances souhaitées:

Outils MATLAB Essentiels

Création de modèles:

sys = tf(num, den);        % Fonction de transfert
sys = ss(A, B, C, D);      % Représentation d'état

Analyse:

pole(sys);                 % Pôles
zero(sys);                 % Zéros
step(sys);                 % Réponse indicielle
bode(sys);                 % Diagramme de Bode
nyquist(sys);              % Diagramme de Nyquist
margin(sys);               % Marges de stabilité

Conception:

K = place(A, B, poles);    % Placement de pôles
pidtune(sys, 'PID');       % Réglage PID automatique

Méthodologie de Conception

Étapes de conception d’un asservissement:

  1. Modélisation: obtenir H(s) du système
  2. Analyse BO: stabilité, performances en boucle ouverte
  3. Spécifications: définir dépassement, temps de réponse, erreur admissible
  4. Choix correcteur: PID, avance/retard selon besoins
  5. Réglage: calcul des paramètres (Kp, Ki, Kd)
  6. Simulation: validation avec Simulink
  7. Tests: robustesse, perturbations, variations paramètres

Compromis à gérer:

PART D: ANALYSE ET RÉFLEXION

Compétences acquises

Modélisation:

Analyse:

Commande:

Outils:

Applications pratiques

Les techniques de ce cours s’appliquent à de nombreux domaines:

Industrie:

Robotique:

Aéronautique:

Automobile:

Liens avec autres cours

Cours Lien
Circuits et Filtres Analogiques (S5) Analyse fréquentielle, Bode
Modélisation Systèmes Linéaires (S5) Représentation d’état
Systèmes Bouclés (S5) Asservissements
Commande Numérique (S8) Discrétisation, PID numérique
Temps Réel (S8) Implémentation des lois de commande

Mon opinion

Ce cours est complémentaire au cours de représentation d’état en apportant les outils classiques de l’automatique industrielle.

Points forts:

Complémentarité: Le PID reste le correcteur le plus utilisé industriellement (>90% des boucles de régulation). La représentation d’état apporte la théorie moderne, le PID apporte la pratique immédiate.

Importance professionnelle: Compétences très recherchées dans l’automatisation industrielle, la robotique et les systèmes embarqués. Le réglage de PID est une compétence de base pour tout ingénieur en automatique.

Bilan personnel: Ce cours a apporté les techniques classiques et éprouvées de l’automatique. La complémentarité avec l’approche moderne (état) offre une boîte à outils complète. Les TPs MATLAB et le projet robot ont permis d’appliquer concrètement ces concepts sur des systèmes réels, préparant bien aux applications industrielles.