← Retour à Mes Cours 2022-2023

📡 Signal - S5

Année: 2022-2023 (Semestre 5)
Crédits: 3 ECTS
Type: Traitement du Signal

PART A: PRÉSENTATION GÉNÉRALE

Objectifs du cours

Ce cours introduit les bases du traitement du signal, couvrant l’analyse temporelle et fréquentielle des signaux, les transformations mathématiques essentielles, et les méthodes de traitement numérique. L’accent est mis sur les techniques permettant d’extraire l’information utile des signaux et de les filtrer.

Compétences visées

Organisation

PART B: EXPÉRIENCE, CONTEXTE ET FONCTION

Contenu pédagogique

Le cours s’articule autour de l’analyse des signaux et des systèmes.

1. Introduction aux signaux

Classification des signaux:

Type Description Exemples
Continu Variable continue dans le temps Tension électrique, température
Discret Échantillonné à intervalles réguliers Signal numérique, données capteur
Périodique Se répète identiquement Sinusoïde, signal carré
Apériodique Non répétitif Impulsion, bruit
Déterministe Prévisible mathématiquement Sinusoïde, rampe
Aléatoire Nature stochastique Bruit, turbulences

Signaux de base:

Fonction échelon unitaire: signal qui passe de 0 à 1 à un instant donné.

Impulsion de Dirac: signal infiniment bref et infiniment intense, utilisé pour caractériser les systèmes.

Sinusoïde: signal périodique de base, caractérisé par amplitude, fréquence et phase.

Signal sinusoïdal

Figure : Représentation d'un signal sinusoïdal - Signal périodique de base en traitement du signal

Signal carré: alternance entre deux niveaux, riche en harmoniques impaires.

Opérations sur les signaux:

2. Systèmes linéaires invariants (LTI)

Propriétés des systèmes LTI:

Linéarité: la sortie est proportionnelle à l’entrée et respecte la superposition.

Invariance temporelle: le comportement ne change pas avec le temps.

Caractérisation par réponse impulsionnelle:

La réponse impulsionnelle h(t) décrit complètement le système.

La sortie y(t) pour une entrée x(t) se calcule par convolution: y(t) = x(t) * h(t)

Stabilité:

Un système est stable si toute entrée bornée produit une sortie bornée (critère BIBO).

Condition: l’intégrale du module de h(t) doit être finie.

Causalité:

Un système est causal si la sortie ne dépend que du présent et du passé.

Condition: h(t) = 0 pour t < 0.

3. Analyse de Fourier

Série de Fourier:

Décomposition d’un signal périodique en somme de sinusoïdes.

Un signal périodique de période T0 se décompose en:

Coefficients de Fourier:

Chaque harmonique a une amplitude et une phase caractéristiques.

Forme complexe: utilise des exponentielles complexes pour simplifier les calculs.

Exemple signal carré:

Un signal carré ne contient que les harmoniques impaires (F0, 3F0, 5F0…).

Les amplitudes décroissent en 1/n où n est le rang de l’harmonique.

Transformée de Fourier:

Généralisation aux signaux non périodiques.

Passage du domaine temporel au domaine fréquentiel.

Spectre d’amplitude: montre les fréquences présentes dans le signal.

Spectre de phase: indique le déphasage de chaque composante.

Propriétés importantes:

Propriété Description
Linéarité Transformée d’une somme = somme des transformées
Décalage temporel Introduit un déphasage en fréquentiel
Modulation Déplacement du spectre
Convolution Produit des transformées
Dualité temps-fréquence Signal large en temps = étroit en fréquence

Transformée de Fourier discrète (TFD):

Version numérique pour signaux échantillonnés.

FFT (Fast Fourier Transform): algorithme rapide pour calculer la TFD.

Utilisée en pratique dans MATLAB avec la fonction fft().

4. Transformée de Laplace

Principe:

Extension de la transformée de Fourier incluant des signaux exponentiels croissants.

Variable complexe s = sigma + j*omega.

Fonction de transfert:

Rapport entre sortie et entrée en domaine de Laplace.

Permet d’analyser les systèmes sans résoudre les équations différentielles.

Pôles et zéros:

Pôles: valeurs de s annulant le dénominateur. Déterminent la stabilité et la dynamique du système.

Zéros: valeurs de s annulant le numérateur. Influencent l’amplitude de la réponse.

Analyse de stabilité:

Un système est stable si tous ses pôles ont une partie réelle négative (dans le demi-plan gauche).

Transformations utiles:

Signal temporel Transformée de Laplace
Impulsion 1
Échelon 1/s
Rampe 1/s²
Exponentielle 1/(s-a)
Sinusoïde omega/(s²+omega²)

5. Échantillonnage et numérisation

Théorème de Shannon-Nyquist:

Pour échantillonner correctement un signal, la fréquence d’échantillonnage Fe doit être au moins le double de la fréquence maximale du signal.

Condition: Fe >= 2 × Fmax

Aliasing (repliement spectral):

Si le théorème de Shannon n’est pas respecté, les hautes fréquences se replient sur les basses fréquences, créant des distorsions irréversibles.

Solution: filtrer le signal avant échantillonnage (filtre anti-repliement).

Quantification:

Conversion de l’amplitude continue en valeurs discrètes.

Nombre de bits détermine la résolution:

Bruit de quantification: erreur introduite par l’arrondi des valeurs.

6. Transformée en Z

Principe:

Équivalent discret de la transformée de Laplace.

Utilisée pour l’analyse des systèmes numériques.

Variable complexe z.

Fonction de transfert discrète:

Rapport entre sortie et entrée en domaine Z.

Permet de concevoir des filtres numériques.

Stabilité:

Un système discret est stable si tous ses pôles sont à l’intérieur du cercle unité (module < 1).

Lien avec la transformée de Fourier:

En posant z = exp(jomegaTe), on obtient la réponse fréquentielle du système discret.

7. Filtrage numérique

Types de filtres:

FIR (Finite Impulse Response):

IIR (Infinite Impulse Response):

Filtres selon la bande passante:

Type Fonction
Passe-bas Laisse passer les basses fréquences
Passe-haut Laisse passer les hautes fréquences
Passe-bande Laisse passer une bande de fréquences
Coupe-bande Élimine une bande de fréquences

Spécifications d’un filtre:

Conception de filtres:

Méthodes classiques:

PART C: ASPECTS TECHNIQUES

Travaux Pratiques MATLAB

TP1: Décomposition en série de Fourier:

Objectif: analyser un signal périodique et calculer ses coefficients de Fourier.

Code MATLAB typique:

% Définition du signal
tmin = 0;
tmax = 4;
T0 = tmax - tmin;
F0 = 1/T0;
dt = 0.04;
t = tmin:dt:(tmax-dt);

% Signal test (par exemple sinusoïde)
A = 1;
f_t = A*sin(pi/T0*t);

% Tracé du signal temporel
figure(1);
plot(t, f_t, 'r');
title('Signal temporel');
xlabel('Temps (s)');
ylabel('Amplitude');
grid;

% Calcul des coefficients de Fourier
N = 200; % Nombre d'harmoniques
rang = 0:1:N;
Fourier = zeros(N+1, 1);

% Calcul de chaque coefficient
for n = 0:N
    somme = 0;
    for k = 1:length(t)
        somme = somme + f_t(k) * exp(-2*pi*1i*n*t(k)/T0);
    end
    Fourier(n+1) = somme * dt / T0;
end

% Tracé du spectre
figure(2);
stem(rang, abs(Fourier));
title('Spectre d''amplitude');
xlabel('Rang harmonique');
ylabel('Amplitude');
grid;

TP2: Analyse d’un signal audio:

Traitement d’un fichier WAV pour analyse spectrale.

% Lecture du signal audio
[signal, Fe] = audioread('signal.wav');

% Paramètres
tmax = length(signal) / Fe;
dt = 1/Fe;
t = 0:dt:(tmax-dt);

% Tracé temporel
figure(1);
plot(t, signal);
title('Signal audio');
xlabel('Temps (s)');
ylabel('Amplitude');

% Transformée de Fourier
N = length(signal);
frequences = (0:N-1) * Fe / N;
spectre = fft(signal);

% Tracé du spectre
figure(2);
plot(frequences(1:N/2), abs(spectre(1:N/2)));
title('Spectre fréquentiel');
xlabel('Fréquence (Hz)');
ylabel('Amplitude');
grid;

Critère de Nyquist:

Calcul de la fréquence maximale respectant Shannon:

Fe = 44100; % Fréquence d'échantillonnage
dt = 1/Fe;
Fmax = Fe/2; % Fréquence de Nyquist

Fonctions MATLAB essentielles

Génération de signaux:

t = 0:0.001:1;              % Vecteur temps
sin_signal = sin(2*pi*10*t); % Sinusoïde 10 Hz
square_signal = square(2*pi*5*t); % Signal carré 5 Hz
sawtooth_signal = sawtooth(2*pi*3*t); % Dents de scie

Transformées:

X = fft(x);                 % Transformée de Fourier
x_reconst = ifft(X);        % Transformée inverse

Filtrage:

% Filtre passe-bas Butterworth
[b, a] = butter(4, 0.2);    % Ordre 4, fréquence normalisée 0.2
y = filter(b, a, x);        % Application du filtre

% Réponse fréquentielle
freqz(b, a);                % Affichage Bode

Analyse spectrale:

spectrogram(signal, 256, 128, 256, Fe); % Spectrogramme
pwelch(signal, [], [], [], Fe);         % Densité spectrale

Travaux Dirigés

Chapitres couverts selon les corrections disponibles:

Exercices types:

Calcul de convolution: Déterminer la sortie d’un système connaissant son entrée et sa réponse impulsionnelle.

Analyse spectrale: Calculer les coefficients de Fourier d’un signal périodique.

Fonction de transfert: Déterminer la stabilité d’un système à partir de ses pôles.

Échantillonnage: Calculer la fréquence minimale pour éviter l’aliasing.

PART D: ANALYSE ET RÉFLEXION

Compétences acquises

Théoriques:

Pratiques:

Applications pratiques

Le traitement du signal est omniprésent dans les technologies modernes:

Audio et musique:

Télécommunications:

Traitement d’image et vidéo:

Biomédical:

Instrumentation:

Radar et sonar:

Liens avec autres cours

Cours Lien
Mathématiques Transformées, intégrales, complexes
Circuits Analogiques (S5) Filtres analogiques, bande passante
Architecture Matérielle (S5) Convertisseurs A/N et N/A
Systèmes Linéaires (S5) Fonctions de transfert, stabilité
Programmation C (S5) Implémentation d’algorithmes
Filtrage Numérique (S6) Approfondissement filtres
Signaux Aléatoires (S6) Extension aux signaux stochastiques
Communications (S7) Modulation, canaux de transmission

Outils professionnels

Le cours prépare à l’utilisation d’outils industriels:

MATLAB/Simulink: standard en R&D et enseignement.

Python (NumPy, SciPy, Matplotlib): alternative open-source de plus en plus utilisée.

LabVIEW: acquisition et traitement en temps réel.

DSP (Digital Signal Processor): processeurs spécialisés pour traitement rapide.

FPGA: implémentation matérielle de filtres haute performance.

Concepts clés à retenir

Dualité temps-fréquence: Un signal ne peut pas être simultanément très localisé en temps et en fréquence. Signal bref = spectre large.

Théorème de Shannon: Fondamental pour toute numérisation. Violer ce théorème crée de l’aliasing irréversible.

Convolution: Opération centrale reliant entrée, système et sortie. En fréquentiel, devient un simple produit.

Filtrage: Permet d’extraire l’information utile et d’éliminer le bruit. Compromis entre efficacité et complexité.

Mon opinion

Ce cours est fondamental pour comprendre comment l’information est représentée et traitée numériquement.

Points forts:

Applications concrètes: Les notions de Fourier et d’échantillonnage sont utilisées quotidiennement dans:

Importance professionnelle: Le traitement du signal est essentiel dans de nombreux domaines:

Complémentarité avec autres cours: Ce cours se combine parfaitement avec:

Bilan personnel: Ce cours a apporté les outils mathématiques et pratiques pour analyser et traiter les signaux numériques. Les TPs MATLAB ont permis de manipuler concrètement les concepts théoriques. Ces compétences sont directement applicables en traitement audio, communications, et systèmes embarqués. La maîtrise de l’analyse spectrale et du filtrage est indispensable pour tout ingénieur en électronique ou informatique industrielle.

📚 Documents de Cours

Voici les supports de cours en PDF pour approfondir le traitement du signal :

📖 Introduction aux Systèmes LTI

Systèmes linéaires invariants dans le temps, convolution, réponse impulsionnelle et propriétés fondamentales.

📥 Télécharger le PDF

🔄 Transformée de Laplace

Définition, propriétés, transformées usuelles, résolution d'équations différentielles et applications.

📥 Télécharger le PDF

📊 Séries de Fourier

Décomposition en séries de Fourier, coefficients, spectres discrets et analyse harmonique des signaux périodiques.

📥 Télécharger le PDF

🌊 Transformée de Fourier

Transformée de Fourier continue, propriétés, spectres, densité spectrale et applications au filtrage.

📥 Télécharger le PDF