Outils Logiciels (OL) - Semestre 3

PART A - Présentation Générale du Cours

Contexte et objectifs

Cours transversal fournissant outils mathématiques et logiciels (MATLAB/Octave/Python) pour traitement du signal, télécommunications et systèmes. Application directe dans cours SE, Télécom, Automatique.

Objectifs :

• Calcul matriciel et résolution systèmes linéaires
• Convolution, corrélation, filtrage
• Transformée de Fourier (DFT, FFT)
• Modulations numériques (simulation)
• Traitement signaux réels

Prérequis

• Programmation de base (S1)
• Mathématiques (matrices, complexes)

PART B: EXPÉRIENCE, CONTEXTE ET FONCTION

Module 1 : Calcul matriciel

Opérations :

• Addition, multiplication, transposition, inverse
• Déterminant, valeurs propres, vecteurs propres
• Résolution systèmes : Ax = b → x = A⁻¹b ou x = A\b (MATLAB)

Applications :

• Circuits électriques (lois de Kirchhoff)
• Systèmes d’équations différentielles
• Transformations géométriques

Module 2 : Convolution et corrélation

Convolution :

• Définition : y[n] = x[n] * h[n] = Σ x[k]·h[n-k]
• Interprétation : réponse système LTI à entrée x[n]
• MATLAB : y = conv(x, h)
• Application : filtrage (h = réponse impulsionnelle)

Corrélation :

• Auto-corrélation : détection périodicité
• Inter-corrélation : similitude signaux
• MATLAB : xcorr(x, y)
• Application : radar, synchronisation

Module 3 : Transformée de Fourier

DFT/FFT :

• Passage temps → fréquence : $X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi kn/N}$
• FFT : algorithme rapide O(N log N)
• MATLAB : X = fft(x), x = ifft(X)

Analyse spectrale :

• Spectre amplitude : abs(X)
• Spectre phase : angle(X)
• Densité spectrale de puissance (PSD)
• Fenêtrage (Hamming, Hann) pour réduire fuites spectrales

Applications :

• Analyse harmoniques
• Conception filtres fréquentiels
• Compression (JPEG, MP3)

Module 4 : Modulations

Modulations analogiques (rappel) :

• AM : y(t) = [1 + m·cos(2πfₘt)]·cos(2πfₚt)
• FM : y(t) = cos(2πfₚt + β·sin(2πfₘt))

Modulations numériques :

• ASK (Amplitude Shift Keying)
• FSK (Frequency Shift Keying)
• PSK (Phase Shift Keying) : BPSK, QPSK
• QAM (Quadrature Amplitude Modulation)

Simulation MATLAB :

% BPSK
bits = randi([0 1], 1, 100);
symbols = 2*bits - 1;  % 0→-1, 1→+1
fc = 1e6; fs = 10e6;
t = 0:1/fs:length(symbols)/1000;
carrier = cos(2*pi*fc*t);
modulated = symbols .* carrier;

PART C: ASPECTS TECHNIQUES

TP MATLAB

TP1 : Filtrage par convolution

• Filtre passe-bas FIR (réponse impulsionnelle rectangulaire)
• Convolution avec signal bruité
• Comparaison temps vs fréquence

TP2 : Analyse FFT

• Signal composite (somme sinusoïdes)
• FFT et identification fréquences
• Fenêtrage et résolution fréquentielle

TP3 : Modulations numériques

• Génération BPSK, QPSK
• Canal bruité (AWGN)
• Démodulation et taux d’erreur binaire (BER)

TP4 : Filtrage audio

• Chargement fichier WAV
• Égaliseur 3 bandes (FFT, filtrage, IFFT)
• Export audio filtré

Outils utilisés

• MATLAB (ou Octave gratuit)
• Python : NumPy, SciPy, Matplotlib
• Simulink : modélisation systèmes

PART D: ANALYSE ET RÉFLEXION

Évaluation

• TP et comptes-rendus (50%)
• Mini-projets (30%)
• Contrôle final (20%)

Compétences acquises

• Maîtrise MATLAB/Octave pour ingénierie
• Traitement du signal pratique
• Simulation systèmes de communication
• Analyse fréquentielle
• Visualisation et interprétation résultats

Liens interdisciplinaires

• SE S3 : filtrage numérique, FFT
• Télécommunications S3 : modulations
• Automatique S3 : simulation systèmes
• Télécom Num S4 : canal de transmission
• Produit de Kronecker

Systèmes linéaires

• Représentation matricielle (Ax = b)
• Résolution de systèmes
• Méthodes directes (Gauss, LU)
• Méthodes itératives (Jacobi, Gauss-Seidel)
• Conditionnement

Valeurs et vecteurs propres

• Définition et calcul
• Diagonalisation
• Décomposition spectrale
• Applications aux systèmes dynamiques
• Modes propres

Décompositions

• LU (Lower-Upper)
• QR (Gram-Schmidt)
• SVD (Singular Value Decomposition)
• Cholesky
• Applications

Applications aux systèmes

Représentation d’état

• Matrices A, B, C, D
• Changement de base
• Commandabilité et observabilité
• Forme canonique

Stabilité

• Analyse par valeurs propres
• Critère de Routh-Hurwitz
• Lieu des racines
• Marges de stabilité

Convolution

Convolution continue

• Définition mathématique
• Propriétés (commutativité, associativité)
• Interprétation graphique
• Produit de convolution

Convolution discrète

• Définition pour signaux échantillonnés
• Algorithme de calcul
• Convolution circulaire
• Applications au filtrage

Systèmes LTI

• Réponse impulsionnelle
• Réponse à un signal quelconque
• Caractérisation par h(t)
• Stabilité et causalité

Transformée de Fourier

Série de Fourier

• Décomposition en série
• Coefficients de Fourier
• Spectre discret
• Convergence
• Phénomène de Gibbs

Transformée de Fourier

• Passage série → transformée
• Propriétés (linéarité, décalage, etc.)
• Transformée de fonctions usuelles
• Dualité temps-fréquence

Théorème de Parseval

• Conservation d’énergie
• Analyse spectrale
• Densité spectrale de puissance

Applications

• Analyse de circuits
• Filtrage fréquentiel
• Analyse de spectres
• Traitement du signal

Modulation et Démodulation

Modulation d’amplitude (AM)

• Modulation DSB (Double SideBand)
• Modulation DSB-SC (Suppressed Carrier)
• Modulation SSB (Single SideBand)
• Spectre et bande passante
• Rendement énergétique

Modulation de fréquence (FM)

• Déviation de fréquence
• Indice de modulation
• Bande passante (règle de Carson)
• Spectre FM
• Applications (radio FM)

Modulation de phase (PM)

• Relation avec FM
• Excursion de phase
• Spectres

Démodulation

• Démodulation cohérente (produit)
• Détection d’enveloppe
• Démodulation FM (discriminateur, PLL)
• Récupération de porteuse

🛠️ Travaux pratiques

TP Calcul matriciel

• Résolution de systèmes
• Calcul de valeurs propres
• Analyse de stabilité
• Diagonalisation

TP Convolution

• Convolution de signaux
• Filtrage par convolution
• Réponse de systèmes LTI
• Visualisation graphique

TP Transformée de Fourier

• Calcul de séries de Fourier
• Spectres de signaux
• FFT et analyse spectrale
• Fenêtrage

TP Modulation/Démodulation

• Génération de signaux modulés
• Analyse spectrale
• Démodulation et récupération
• Simulation de canal bruité

💻 Outils utilisés

Environnements de calcul

• MATLAB : Calcul scientifique
• Octave : Alternative open source
• Python (NumPy, SciPy, Matplotlib) : Traitement scientifique
• Maple : Calcul symbolique

Bibliothèques

• NumPy : Calcul matriciel
• SciPy : Outils scientifiques
• Matplotlib : Visualisation
• SymPy : Calcul symbolique Python

Outils de visualisation

• Tracés 2D et 3D
• Spectrogrammes
• Diagrammes de Bode
• Animations

📊 Évaluation

• Travaux pratiques MATLAB/Python (40%)
• Projets d’application (30%)
• Contrôles continus (20%)
• Examen final (10%)

🔗 Liens avec d’autres cours

• Automatique : Représentation d’état
• SE : Traitement du signal
• Télécommunications : Modulation
• Mathématiques : Fondements théoriques
• Filtrage Numérique : Implémentation

📐 Formules clés

Convolution

• Continue : $(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau$
• Discrète : $(f * g)[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} f[k]g[n-k]$

Transformée de Fourier

• Directe : $F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt$
• Inverse : $f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$

Modulation AM

• Signal modulé : $s(t) = [1 + m(t)]A_c\cos(2\pi f_c t)$
• Indice : $\mu = \frac{A_{max} - A_{min}}{A_{max} + A_{min}}$

💡 Applications pratiques

Traitement d’images

• Filtrage (convolution 2D)
• Compression (DCT, FFT)
• Restauration d’images

Audio

• Égaliseurs (filtrage)
• Effets (convolution avec IR)
• Analyse spectrale

Télécommunications

• Radio AM/FM
• Multiplexage fréquentiel
• Analyse de canaux

Systèmes de contrôle

• Analyse de stabilité
• Commandabilité
• Synthèse de correcteurs

📖 Compétences développées

• Calcul matriciel appliqué
• Analyse fréquentielle de signaux
• Programmation scientifique (MATLAB/Python)
• Simulation de systèmes
• Visualisation de données
• Résolution numérique de problèmes
• Analyse spectrale

🎯 Exemples de projets

Projet 1 : Analyse d’un système dynamique

• Modélisation matricielle
• Calcul des modes propres
• Simulation temporelle
• Analyse de stabilité

Projet 2 : Égaliseur audio

• Analyse FFT en temps réel
• Filtrage par bandes
• Convolution avec filtres RIF
• Interface graphique

Projet 3 : Simulateur de radio AM/FM

• Génération de signaux modulés
• Ajout de bruit
• Démodulation
• Mesure SNR et BER

⚠️ Points d’attention

Calcul matriciel

• Conditionnement des matrices
• Précision numérique
• Stabilité des algorithmes
• Complexité algorithmique

Convolution

• Support des signaux
• Causalité
• Complexité O(n²)
• Utiliser FFT pour grands signaux

Transformées

• Fréquence d’échantillonnage
• Fenêtrage (leakage spectral)
• Résolution fréquentielle
• Aliasing

Modulation

• Bande passante requise
• SNR et qualité
• Non-linéarités
• Interférences

🔧 Bonnes pratiques MATLAB/Python

Vectorisation

% Éviter les boucles
for i = 1:n
    y(i) = a * x(i) + b;
end

% Préférer
y = a * x + b;

Préallocation

% Inefficace
for i = 1:1000
    x(i) = i^2;
end

% Efficace
x = zeros(1, 1000);
for i = 1:1000
    x(i) = i^2;
end

Fonctions optimisées

• Utiliser fft() plutôt que calcul manuel
• conv() pour convolution
• eig() pour valeurs propres
• Bibliothèques BLAS/LAPACK

📚 Ressources

• Documentation MATLAB/Octave
• NumPy/SciPy documentation
• Tutoriels en ligne
• Forums de discussion (Stack Overflow)