Mathématiques - Semestre 4

PART A - Présentation Générale du Cours

Contexte et objectifs

Mathématiques appliquées pour l’ingénieur GEII : analyse de Fourier, transformée en Z, équations récurrence, analyse numérique. Support théorique pour signal, automatique, filtrage.

Objectifs :

Prérequis

PART B: EXPÉRIENCE, CONTEXTE ET FONCTION

Module 1 : Séries et transformée de Fourier

Série de Fourier (signal périodique) : \(f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]\)

Transformée de Fourier (signal non-périodique) : \(F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt\)

Applications :

Module 2 : Transformée en Z

Définition : \(X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}\)

Propriétés :

Applications :

Module 3 : Équations de récurrence

Forme générale : \(y[n] + a_1 y[n-1] + ... + a_N y[n-N] = b_0 x[n] + ... + b_M x[n-M]\)

Résolution :

Applications :

Module 4 : Analyse numérique

Intégration numérique :

Résolution équations :

Interpolation :

Équations différentielles :

PART C: ASPECTS TECHNIQUES

TD/TP

TP1 : Séries de Fourier

TP2 : Transformée en Z

TP3 : Récurrence et filtres

TP4 : Méthodes numériques

Outils

PART D: ANALYSE ET RÉFLEXION

Évaluation

Compétences acquises

Applications interdisciplinaires

📚 Contenu du cours

Séries de Fourier

Décomposition en série

Série trigonométrique : \(f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)\right]\)

Coefficients :

Forme exponentielle (complexe) : \(f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t}\)

avec $c_n = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)e^{-jn\omega_0 t}dt$

Propriétés

Convergence

Applications

Transformation de Fourier

Définition

Transformée directe : \(F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt\)

Transformée inverse : \(f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)e^{j\omega t}d\omega\)

Propriétés principales

Transformées usuelles

Théorème de Parseval

\(\int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^2 d\omega\)

Conservation de l’énergie

Applications

Séries entières

Définition

\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n\)

Rayon de convergence

Critères :

Domaine : $ x - x_0 < R$

Opérations

Développements usuels

Applications

Équations de récurrence

Types

Linéaires à coefficients constants : \(a_n u_{n+k} + a_{n-1} u_{n+k-1} + \ldots + a_0 u_n = f(n)\)

Homogènes : $f(n) = 0$ Non homogènes : $f(n) \neq 0$

Résolution

Équation caractéristique : Pour $u_{n+2} + au_{n+1} + bu_n = 0$ \(r^2 + ar + b = 0\)

Solutions :

Solution générale : Solution homogène + solution particulière

Applications

Analyse numérique

Interpolation

Interpolation de Lagrange : Polynôme passant par n+1 points \(P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)\)

avec $L_i(x) = \prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$

Splines :

Intégration numérique

Méthodes de quadrature :

Rectangles : \(\int_a^b f(x)dx \approx h\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)\)

Trapèzes : \(\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{2}\left[f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) + f(b)\right]\)

Simpson : \(\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{3}\left[f(a) + 4\sum_{impair}f(x_i) + 2\sum_{pair}f(x_i) + f(b)\right]\)

Erreur d’approximation : Dépend de la méthode et de la dérivée de f

Résolution d’équations différentielles

Euler explicite : \(y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n)\)

Méthodes Runge-Kutta :

Stabilité : Contraintes sur le pas h

🛠️ Travaux pratiques

TP Séries de Fourier (Maple/MATLAB)

TP Transformation de Fourier

TP Interpolation (Maple)

TP Intégration numérique

TP Équations différentielles

💻 Outils utilisés

Calcul formel

Calcul numérique

Visualisation

📊 Évaluation

🔗 Liens avec d’autres cours

📐 Exemples d’applications

Signal carré (séries de Fourier)

\(f(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin((2n+1)\omega_0 t)}{2n+1}\)

Harmoniques impairs uniquement

Filtre passe-bas idéal

\(H(\omega) = \begin{cases} 1 & |\omega| < \omega_c \\ 0 & |\omega| > \omega_c \end{cases}\)

Réponse impulsionnelle : $h(t) = \frac{\omega_c}{\pi}\text{sinc}(\omega_c t)$

Suite de Fibonacci

$u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$, $u_0=0$, $u_1=1$

Solution : $u_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\phi^n - (-\phi)^{-n}\right]$

avec $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (nombre d’or)

💡 Applications en ingénierie

Traitement du signal

Systèmes de contrôle

Télécommunications

📖 Compétences développées

🎯 Formules essentielles

Identités trigonométriques

Formules d’Euler

⚠️ Pièges courants

Séries de Fourier

Transformation

Analyse numérique

🔧 Conseils pratiques

Calculs

Programmation