Mathématiques - Semestre 1

A) GÉNÉRALITÉS

Contexte et objectifs

Les mathématiques S1 constituent le socle théorique pour l’ingénieur GEII. Fondations pour analyse de circuits, traitement du signal, automatique. Volume 60h.

Objectifs :

Prérequis

B) DESCRIPTIF

Module 1 : Nombres complexes

Forme algébrique et trigonométrique :

Applications électricité :

Module 2 : Fonctions de plusieurs variables

Dérivées partielles :

Applications :

Module 3 : Équations différentielles

Ordre 1 : y’ + ay = b

Ordre 2 : y’’ + 2ζω₀y’ + ω₀²y = f(t)

Module 4 : Développements limités

Taylor-Young :

Applications :

Module 5 : Intégration

Techniques :

Applications :

C) TECHNIQUE

TD appliqués

TD1 : Complexes et circuits AC

TD2 : Équations différentielles

TD3 : Intégration

Outils

D) ANALYTIQUE

Évaluation

Compétences acquises

Applications interdisciplinaires

Compétences visées :

Programme détaillé

1. Analyse réelle (15h)

Fonctions d’une variable réelle :

Intégration :

2. Nombres complexes (12h)

Représentations :

Opérations et applications :

3. Algèbre linéaire (15h)

Vecteurs et espaces vectoriels :

Matrices :

Systèmes d’équations linéaires :

Valeurs et vecteurs propres :

4. Équations différentielles (12h)

Équations du 1er ordre :

Équations du 2nd ordre :

5. Transformations (6h)

Transformée de Laplace :

Transformée de Fourier :

Méthodes pédagogiques

Cours magistraux (30h) :

Travaux dirigés (30h) :

Travail personnel :

PART C: ASPECTS TECHNIQUES

Outils mathématiques et logiciels

Calculatrices

Calculatrice scientifique/graphique :

Limitations et bonnes pratiques :

Logiciels de calcul numérique

MATLAB/GNU Octave : Utilisés pour les applications numériques et la visualisation.

Exemples d’utilisation :

% Tracé d'une fonction
x = linspace(-pi, pi, 100);
y = sin(x) .* exp(-x.^2);
plot(x, y);
title('Fonction amortie');

% Résolution d'un système linéaire Ax = b
A = [2, -1, 0; -1, 2, -1; 0, -1, 2];
b = [1; 0; 1];
x = A \ b;  % ou x = inv(A) * b

% Nombres complexes
z1 = 3 + 4i;
z2 = 1 - 2i;
z_prod = z1 * z2;
abs(z1)      % module
angle(z1)    % argument en radians

% Résolution d'équation différentielle
% dy/dt = -2*y + sin(t), y(0) = 1
f = @(t,y) -2*y + sin(t);
[t, y] = ode45(f, [0 10], 1);
plot(t, y);

Python (NumPy, SciPy, SymPy) : Alternative open-source pour calculs scientifiques.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
import sympy as sp

# Nombres complexes
z1 = 3 + 4j
z2 = complex(1, -2)
print(f"Module: {abs(z1)}")
print(f"Argument: {np.angle(z1)}")

# Algèbre symbolique avec SymPy
x = sp.Symbol('x')
f = sp.sin(x) * sp.exp(-x**2)
f_prime = sp.diff(f, x)  # dérivée
print(sp.latex(f_prime))  # export LaTeX

# Résolution d'équation différentielle
def model(y, t):
    dydt = -2*y + np.sin(t)
    return dydt
y0 = 1
t = np.linspace(0, 10, 100)
y = odeint(model, y0, t)
plt.plot(t, y)
plt.show()

Techniques de résolution

Méthode systématique pour les équations différentielles

Équation du 2nd ordre : ay’’ + by’ + cy = f(t)

  1. Résoudre l’équation homogène ay’’ + by’ + cy = 0
    • Équation caractéristique : ar² + br + c = 0
    • Calculer Δ = b² - 4ac
    • Cas 1 (Δ > 0) : deux racines réelles r₁, r₂ → y_h = C₁e^(r₁t) + C₂e^(r₂t)
    • Cas 2 (Δ = 0) : racine double r₀ → y_h = (C₁ + C₂t)e^(r₀t)
    • Cas 3 (Δ < 0) : racines complexes α ± jω → y_h = e^(αt)(C₁cos(ωt) + C₂sin(ωt))
  2. Trouver une solution particulière y_p selon f(t)
    • Si f(t) = A (constante) → y_p = K
    • Si f(t) = Ae^(λt) → y_p = Be^(λt)
    • Si f(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) → y_p = C cos(ωt) + D sin(ωt)

  3. Solution générale : y = y_h + y_p

  4. Appliquer les conditions initiales pour déterminer C₁ et C₂

Exemple : Circuit RLC série \(L\frac{d^2i}{dt^2} + R\frac{di}{dt} + \frac{1}{C}i = \frac{dV_s}{dt}\)

Calcul matriciel efficace

Inversion de matrice 2×2 : \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \implies A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)

Déterminant 3×3 (règle de Sarrus) :

| a b c |
| d e f | = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
| g h i |

Transformée de Laplace : table des transformées usuelles

f(t) F(s) = ℒ{f(t)}
δ(t) (Dirac) 1
u(t) (échelon) 1/s
t 1/s²
e^(at) 1/(s-a)
sin(ωt) ω/(s²+ω²)
cos(ωt) s/(s²+ω²)
e^(at)sin(ωt) ω/((s-a)²+ω²)

Théorèmes importants :

Applications pratiques en GEII

1. Circuits électriques en régime sinusoïdal

Impédances complexes :

Loi d’Ohm complexe : V̄ = Z̄·Ī

Exemple : Diviseur de tension complexe

V_in ──R──┬──C── GND
          │
         V_out

\(\underline{V}_{out} = \underline{V}_{in} \cdot \frac{Z_C}{Z_R + Z_C}\)

2. Analyse de circuits RLC

Circuit RLC série - Réponse transitoire :

Équation : \(L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C}\int i \, dt = V_s(t)\)

Forme canonique : \(\frac{d^2i}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{di}{dt} + \frac{1}{LC}i = 0\)

Paramètres caractéristiques :

PART D: ANALYSE ET RÉFLEXION

Évaluation des compétences

Modalités d’évaluation

Contrôle continu (40%) :

Travaux dirigés (20%) :

Examen terminal (40%) :

Barème type d’un contrôle

Exercice 1 - Nombres complexes (5 points) :

Exercice 2 - Algèbre linéaire (6 points) :

Exercice 3 - Équations différentielles (5 points) :

Exercice 4 - Transformées (4 points) :

Compétences acquises et progression

Niveaux de maîtrise

Niveau 1 - Connaissance (fin S1) : ✓ Connaître les définitions et propriétés fondamentales ✓ Appliquer des formules directes ✓ Résoudre des exercices types simples

Niveau 2 - Application (S2-S3) : ✓ Choisir la bonne méthode selon le problème ✓ Enchaîner plusieurs étapes de calcul ✓ Interpréter les résultats

Niveau 3 - Maîtrise (S3-S4) : ✓ Résoudre des problèmes complexes ✓ Faire le lien entre mathématiques et applications physiques ✓ Modéliser un système réel

Liens avec les autres matières

Synergie avec le cursus GEII

Matière Concepts mathématiques utilisés Applications concrètes
Énergie Nombres complexes, équations diff. Impédances, circuits RLC, régimes transitoires
Systèmes Électroniques Nombres complexes, équations diff. Filtres actifs/passifs, fonctions de transfert
Travaux de Laboratoire Analyse, complexes Mesures en régime sinusoïdal, oscilloscope
Signal (S2) Transformées Fourier/Laplace Spectres, filtrage, convolution
Automatique (S3) Équations diff., Laplace, matrices Modélisation systèmes, stabilité, commande
Programmation Algèbre, algorithmes Implémentation calculs numériques

Progression verticale

S1 (Mathématiques 1) :

S2 (Mathématiques 2) :

S3 (Outils Mathématiques pour l’Automatique) :

S4 (Mathématiques Appliquées) :

Ressources et accompagnement

Support de cours

Documentation fournie :

Ressources en ligne :

Accompagnement personnalisé

Tutorat :

Heures de permanence :

Conseils de réussite

Stratégies d’apprentissage

Pendant le cours :

Pendant les TD :

Travail personnel (estimé : 4h/semaine) :

Erreurs fréquentes à éviter

❌ Confondre radians et degrés (notamment en complexes) ❌ Oublier les conditions initiales dans les équations différentielles ❌ Négliger les unités dans les applications physiques ❌ Faire des erreurs de signes dans le calcul matriciel ❌ Utiliser la transformée de Laplace sans vérifier les conditions ❌ Se précipiter sur la calculatrice sans réfléchir à la méthode

✅ Toujours vérifier la cohérence du résultat ✅ Faire des schémas pour les problèmes géométriques ✅ Simplifier les expressions autant que possible ✅ Garder une trace écrite des étapes de calcul

Débouchés et perspectives

Utilisation dans la vie professionnelle

Métiers de l’ingénieur GEII :

Compétences transversales :

Poursuite d’études

Les mathématiques du S1 sont le socle pour :

📚 Bibliographie et ressources

Ouvrages de référence

Livres recommandés :

  1. Mathématiques pour l’ingénieur - Jean-Pierre Lecoutre (Dunod)
  2. Analyse mathématique - Walter Damin (De Boeck)
  3. Mathématiques appliquées à l’électronique - François Christophe (Ellipses)
  4. Aide-mémoire Mathématiques de l’ingénieur - Yves Leroyer (Dunod)

Pour aller plus loin :

Ressources numériques

Sites web :

Chaînes YouTube :

Logiciels gratuits