← Retour à Mes Cours 2020-2021

Mathématiques - S1

Année : 2020-2021 Semestre : 1 Type : Sciences fondamentales

PART A : PRÉSENTATION GÉNÉRALE

Contexte et objectifs

Les mathématiques S1 constituent le socle théorique pour l’ingénieur GEII. Elles posent les fondations indispensables pour l’analyse de circuits, le traitement du signal et l’automatique. Le volume horaire est de 60h (30h CM + 30h TD).

Objectifs :

Prérequis

Compétences visées

PART B : EXPÉRIENCE ET CONTEXTE

Programme détaillé

1. Analyse réelle (15h)

Fonctions d’une variable réelle :

Intégration :

2. Nombres complexes (12h)

Représentations :

Opérations et applications :

Applications électricité :

3. Algèbre linéaire (15h)

Vecteurs et espaces vectoriels :

Matrices :

Systèmes d’équations linéaires :

Valeurs et vecteurs propres :

4. Équations différentielles (12h)

Équations du 1er ordre :

Équations du 2nd ordre :

5. Transformations (6h)

Transformée de Laplace :

Transformée de Fourier :

Méthodes pédagogiques

Cours magistraux (30h) :

Travaux dirigés (30h) :

Travail personnel :

PART C : ASPECTS TECHNIQUES

Outils mathématiques et logiciels

Calculatrices

Calculatrice scientifique/graphique :

Limitations et bonnes pratiques :

Logiciels de calcul numérique

MATLAB/GNU Octave : Utilisés pour les applications numériques et la visualisation.

Exemples d’utilisation :

% Tracé d'une fonction
x = linspace(-pi, pi, 100);
y = sin(x) .* exp(-x.^2);
plot(x, y);
title('Fonction amortie');

% Résolution d'un système linéaire Ax = b
A = [2, -1, 0; -1, 2, -1; 0, -1, 2];
b = [1; 0; 1];
x = A \ b;  % ou x = inv(A) * b

% Nombres complexes
z1 = 3 + 4i;
z2 = 1 - 2i;
z_prod = z1 * z2;
abs(z1)      % module
angle(z1)    % argument en radians

% Résolution d'équation différentielle
% dy/dt = -2*y + sin(t), y(0) = 1
f = @(t,y) -2*y + sin(t);
[t, y] = ode45(f, [0 10], 1);
plot(t, y);

Python (NumPy, SciPy, SymPy) : Alternative open-source pour calculs scientifiques.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
import sympy as sp

# Nombres complexes
z1 = 3 + 4j
z2 = complex(1, -2)
print(f"Module: {abs(z1)}")
print(f"Argument: {np.angle(z1)}")

# Algèbre symbolique avec SymPy
x = sp.Symbol('x')
f = sp.sin(x) * sp.exp(-x**2)
f_prime = sp.diff(f, x)  # dérivée
print(sp.latex(f_prime))  # export LaTeX

# Résolution d'équation différentielle
def model(y, t):
    dydt = -2*y + np.sin(t)
    return dydt
y0 = 1
t = np.linspace(0, 10, 100)
y = odeint(model, y0, t)
plt.plot(t, y)
plt.show()

Techniques de résolution

Méthode systématique pour les équations différentielles

Équation du 2nd ordre : ay’’ + by’ + cy = f(t)

  1. Résoudre l’équation homogène ay’’ + by’ + cy = 0
    • Équation caractéristique : ar² + br + c = 0
    • Calculer Δ = b² - 4ac
    • Cas 1 (Δ > 0) : deux racines réelles r₁, r₂ → y_h = C₁e^(r₁t) + C₂e^(r₂t)
    • Cas 2 (Δ = 0) : racine double r₀ → y_h = (C₁ + C₂t)e^(r₀t)
    • Cas 3 (Δ < 0) : racines complexes α ± jω → y_h = e^(αt)(C₁cos(ωt) + C₂sin(ωt))
  2. Trouver une solution particulière y_p selon f(t)
    • Si f(t) = A (constante) → y_p = K
    • Si f(t) = Ae^(λt) → y_p = Be^(λt)
    • Si f(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) → y_p = C cos(ωt) + D sin(ωt)

  3. Solution générale : y = y_h + y_p

  4. Appliquer les conditions initiales pour déterminer C₁ et C₂

Exemple : Circuit RLC série \(L\frac{d^2i}{dt^2} + R\frac{di}{dt} + \frac{1}{C}i = \frac{dV_s}{dt}\)

Calcul matriciel efficace

Inversion de matrice 2x2 : \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \implies A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)

Déterminant 3x3 (règle de Sarrus) :

| a b c |
| d e f | = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
| g h i |

Transformée de Laplace : table des transformées usuelles

f(t) F(s) = L{f(t)}
δ(t) (Dirac) 1
u(t) (échelon) 1/s
t 1/s²
e^(at) 1/(s-a)
sin(ωt) ω/(s²+ω²)
cos(ωt) s/(s²+ω²)
e^(at)sin(ωt) ω/((s-a)²+ω²)

Théorèmes importants :

Applications pratiques en GEII

1. Circuits électriques en régime sinusoïdal

Impédances complexes :

Loi d’Ohm complexe : V = Z·I

Exemple : Diviseur de tension complexe

V_in ──R──┬──C── GND
          │
         V_out

\(\underline{V}_{out} = \underline{V}_{in} \cdot \frac{Z_C}{Z_R + Z_C}\)

2. Analyse de circuits RLC

Circuit RLC série - Réponse transitoire :

Équation : \(L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C}\int i \, dt = V_s(t)\)

Forme canonique : \(\frac{d^2i}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{di}{dt} + \frac{1}{LC}i = 0\)

Paramètres caractéristiques :

TD appliqués

TD1 : Complexes et circuits AC

TD2 : Équations différentielles

TD3 : Intégration

PART D : ANALYSE ET RÉFLEXION

Évaluation des compétences

Modalités d’évaluation

Contrôle continu (40%) :

Travaux dirigés (20%) :

Examen terminal (40%) :

Barème type d’un contrôle

Exercice 1 - Nombres complexes (5 points) :

Exercice 2 - Algèbre linéaire (6 points) :

Exercice 3 - Équations différentielles (5 points) :

Exercice 4 - Transformées (4 points) :

Compétences acquises et progression

Niveaux de maîtrise

Niveau 1 - Connaissance (fin S1) :

Niveau 2 - Application (S2-S3) :

Niveau 3 - Maîtrise (S3-S4) :

Liens avec les autres matières

Synergie avec le cursus GEII

Matière Concepts mathématiques utilisés Applications concrètes
Énergie Nombres complexes, équations diff. Impédances, circuits RLC, régimes transitoires
Systèmes Électroniques Nombres complexes, équations diff. Filtres actifs/passifs, fonctions de transfert
Travaux de Laboratoire Analyse, complexes Mesures en régime sinusoïdal, oscilloscope
Signal (S2) Transformées Fourier/Laplace Spectres, filtrage, convolution
Automatique (S3) Équations diff., Laplace, matrices Modélisation systèmes, stabilité, commande
Programmation Algèbre, algorithmes Implémentation calculs numériques

Progression verticale

S1 (Mathématiques 1) :

S2 (Mathématiques 2) :

S3 (Outils Mathématiques pour l’Automatique) :

S4 (Mathématiques Appliquées) :

Ressources et accompagnement

Support de cours

Documentation fournie :

Ressources en ligne :

Accompagnement personnalisé

Tutorat :

Heures de permanence :

Conseils de réussite

Stratégies d’apprentissage

Pendant le cours :

Pendant les TD :

Travail personnel (estimé : 4h/semaine) :

Erreurs fréquentes à éviter

Débouchés et perspectives

Utilisation dans la vie professionnelle

Métiers de l’ingénieur GEII :

Poursuite d’études

Les mathématiques du S1 sont le socle pour :

Bibliographie et ressources

Ouvrages de référence :

  1. Mathématiques pour l’ingénieur - Jean-Pierre Lecoutre (Dunod)
  2. Analyse mathématique - Walter Damin (De Boeck)
  3. Mathématiques appliquées à l’électronique - François Christophe (Ellipses)
  4. Aide-mémoire Mathématiques de l’ingénieur - Yves Leroyer (Dunod)

Ressources numériques :

Logiciels gratuits :

Documents de Cours

Nombres Complexes

Cours complet sur les nombres complexes : formes algébrique, trigonométrique et exponentielle. Applications aux impédances électriques et circuits RLC.

Télécharger le PDF

Limites d'une fonction numérique

Étude des limites de fonctions numériques : définitions, propriétés, théorèmes fondamentaux et applications.

Télécharger le PDF

Propriétés d'une fonction numérique

Propriétés des fonctions numériques : continuité, dérivabilité, étude de fonctions et applications.

Télécharger le PDF

← Retour à Mes Cours 2020-2021